Considere a função f(x)=3 x^{3}-3 x^{2}-3 x.
Calcule as raízes da função. Abaixo coloque as coordenadas dos pontos que definem estas raízes em ordem crescente de seus valores na coordenada x.
Raiz 1=( \square )
Raiz 2= \square )

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes de f(x)=3x^{3}-3x^{2}-3x. Isso envolve reconhecer que é um polinômio de grau 3 e usar fatoração e fórmula de Bhaskara para obter todos os valores de x tais que f(x)=0.

Passo 2

Extraímos o fator comum 3x:
f(x)=3x^{3}-3x^{2}-3x=3x\bigl(x^{2}-x-1\bigr).
Assim, f(x)=0 se, e somente se, 3x=0 ou x^{2}-x-1=0.

Passo 3

Da primeira equação 3x=0 obtemos
x=0.
Da segunda equação x^{2}-x-1=0 aplicamos a fórmula de Bhaskara:
x=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^{2}-4\cdot1\cdot(-1)}}{2} =\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}.

Passo 4

Ordenando as raízes em ordem crescente de abscissa:
\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0<\frac{1+\sqrt{5}}{2}.

Resposta

\displaystyle \text{Raiz 1}=\bigl(\tfrac{1-\sqrt5}{2},\,0\bigr)
\displaystyle \text{Raiz 2}=(0,\,0)
\displaystyle \text{Raiz 3}=\bigl(\tfrac{1+\sqrt5}{2},\,0\bigr)

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