Sejam \mathbf{r}_{1}(t)=\left(t^{2}, 1,2 t\right) e \mathbf{r}_{2}(t)=\left(1,2, e^{t}\right). Calcule \frac{d}{d t}\left[\mathbf{r}_{1}(t) \times \mathbf{r}_{2}(t)\right] de duas formas diferentes.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \frac{d}{dt}\bigl[\mathbf r_{1}(t)\times\mathbf r_{2}(t)\bigr]
onde
\mathbf r_{1}(t)=(t^{2},1,2t) e \mathbf r_{2}(t)=(1,2,e^{t}).
Vamos usar dois métodos:
  1. Calcular primeiro o produto vetorial \mathbf r_{1}\times\mathbf r_{2} e depois derivar componente a componente.
  2. Usar a regra do produto para derivada de um produto vetorial, ou seja
\frac{d}{dt}[\mathbf r_{1}\times\mathbf r_{2}] =\mathbf r_{1}'\times\mathbf r_{2}+\mathbf r_{1}\times\mathbf r_{2}'.

Passo 2

Calculamos \mathbf r_{1}(t)\times\mathbf r_{2}(t) por definição de determinante de 3\times3. As componentes são
(\mathbf r_{1}\times\mathbf r_{2})_{1} =1\cdot e^{t}-2t\cdot2 =e^{t}-4t,
(\mathbf r_{1}\times\mathbf r_{2})_{2} =-(t^{2}\cdot e^{t}-2t\cdot1) =-t^{2}e^{t}+2t,
(\mathbf r_{1}\times\mathbf r_{2})_{3} =t^{2}\cdot2-1\cdot1 =2t^{2}-1.
Logo
\mathbf r_{1}(t)\times\mathbf r_{2}(t) =\bigl(e^{t}-4t,\,-t^{2}e^{t}+2t,\;2t^{2}-1\bigr).

Passo 3

Derivando componente a componente, obtemos
\frac{d}{dt}[\mathbf r_{1}\times\mathbf r_{2}] =\bigl(e^{t}-4,\,-(2t\,e^{t}+t^{2}e^{t})+2,\;4t\bigr).
Fatorando em \textstyle e^{t} na segunda componente, dá
\frac{d}{dt}[\mathbf r_{1}\times\mathbf r_{2}] =\bigl(e^{t}-4,\,-(t^{2}+2t)e^{t}+2,\;4t\bigr).

Passo 4

Agora usamos a regra do produto vetorial. Primeiro as derivadas
\mathbf r_{1}'(t)=(2t,0,2), \quad \mathbf r_{2}'(t)=(0,0,e^{t}).
Calculamos
\mathbf r_{1}'\times\mathbf r_{2} =(2t,0,2)\times(1,2,e^{t}) =\bigl(-4,\,-2t\,e^{t}+2,\;4t\bigr),
\mathbf r_{1}\times\mathbf r_{2}' =(t^{2},1,2t)\times(0,0,e^{t}) =\bigl(e^{t},\,-t^{2}e^{t},\,0\bigr).

Passo 5

Somando os dois vetores do passo anterior:
\mathbf r_{1}'\times\mathbf r_{2} +\mathbf r_{1}\times\mathbf r_{2}' =\bigl(e^{t}-4,\,-t^{2}e^{t}-2t\,e^{t}+2,\;4t\bigr),
que simplifica para
\bigl(e^{t}-4,\,-(t^{2}+2t)e^{t}+2,\;4t\bigr),
exatamente o mesmo resultado do Passo 3.

Resposta

\frac{d}{dt}\bigl[\mathbf r_{1}(t)\times\mathbf r_{2}(t)\bigr] =\bigl(e^{t}-4,\,-(t^{2}+2t)e^{t}+2,\;4t\bigr).

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