Determine os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{2 x^{8}-7 x^{5}+13}}{3 x^{4}-2 x^{2}+3}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{2x^{8}-7x^{5}+13}}{3x^{4}-2x^{2}+3}.
Aqui vamos usar o fato de que, para x>0, \sqrt{x^{8}}=x^{4} e em seguida dividir numerador e denominador pela maior potência de x para isolar os termos dominantes.

Passo 2

No numerador, fatoramos x^{8} dentro da raiz:
\sqrt{2x^{8}-7x^{5}+13} =\sqrt{x^{8}\Bigl(2 -7x^{-3}+13x^{-8}\Bigr)} =x^{4}\,\sqrt{2 -7x^{-3}+13x^{-8}}.

Passo 3

Agora escrevemos a razão dividindo numerador e denominador por x^{4}:
\frac{\sqrt{2x^{8}-7x^{5}+13}}{3x^{4}-2x^{2}+3} =\frac{x^{4}\,\sqrt{2 -7x^{-3}+13x^{-8}}}{x^{4}\bigl(3 -2x^{-2}+3x^{-4}\bigr)} =\frac{\sqrt{2 -7x^{-3}+13x^{-8}}}{3 -2x^{-2}+3x^{-4}}.

Passo 4

Quando x\to+\infty, os termos com x^{-n} vão a zero. Logo
\sqrt{2 -7x^{-3}+13x^{-8}}\;\longrightarrow\;\sqrt{2}, \qquad 3 -2x^{-2}+3x^{-4}\;\longrightarrow\;3.
Assim o limite da razão é
\frac{\sqrt{2}}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}

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