Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a
ou
. Então calcule a área da região.
(g)
(g)
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pela reta y = x − 1 e pela parábola y² = 2x + 6, usando integração. O conteúdo é cálculo de área por integração dupla simples (diferença de funções) e teremos que escolher integrar em relação a y ou x.
Passo 2
Para encontrar os pontos de interseção, substituímos x = y + 1 (da reta) na parábola y² = 2x + 6:
Resolvendo, y = 4 ou y = -2. Então x = y + 1 dá x = 5 e x = -1.
Passo 3
Expressamos as curvas como x em função de y:
Reta:
Parábola:
Para y entre -2 e 4, verifica-se que . Logo, a região vai de
até
.
Para y entre -2 e 4, verifica-se que
Passo 4
A área é dada por
Passo 5
Calculando a integral:
Antiderivada:
Avalia em -2 e 4:
Avalia em -2 e 4:
Logo,