Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a x ou y. Então calcule a área da região.
(g) y=x-1, y^2=2 x+6

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela reta y = x − 1 e pela parábola y² = 2x + 6, usando integração. O conteúdo é cálculo de área por integração dupla simples (diferença de funções) e teremos que escolher integrar em relação a y ou x.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, substituímos x = y + 1 (da reta) na parábola y² = 2x + 6:
y^2 = 2(y+1) + 6 implies y^2 - 2y - 8 = 0
Resolvendo, y = 4 ou y = -2. Então x = y + 1 dá x = 5 e x = -1.

Passo 3

Expressamos as curvas como x em função de y:
Reta: x = y + 1
Parábola: x = y^2 - 62
Para y entre -2 e 4, verifica-se que xreta >= xparábolaá. Logo, a região vai de xparábolaá até xreta.

Passo 4

A área é dada por
A = integraly=-2^4 l[xreta(y) - xparábola(y)r] ,dy = integral-2^4 l[(y+1) - l(y^22-3r)r] dy = integral-2^4 l(-tfracy^22 + y + 4r) dyá

Passo 5

Calculando a integral:
Antiderivada: F(y) = -y^36 + y^22 + 4y
Avalia em -2 e 4:
F(4) = -646 + 8 + 16 = 403, F(-2) = 43 + 2 - 8 = -143
Logo,
A = F(4) - F(-2) = 403 - l(-143r) = 543 = 18

Resposta

18

Exercícios relacionados