Considere a função
f(x)=x cdot ln (x)
Obtenha o polinômio de Taylor da função apresentada no ponto x=1 e com ordem n. Escreva a fórmula de Taylor com resto de Lagrange.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = x \cdot \ln(x) $ e precisa encontrar o polinômio de Taylor dela no ponto $ x = 1 $ com ordem $ n $. Para isso, vamos usar o conceito de série de Taylor e a fórmula do resto de Lagrange. Vamos precisar calcular as derivadas da função até a ordem $ n $ e entender como montar o polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. É uma maneira de aproximar uma função suave próximo a um ponto usando polinômios. A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem $ n $ em torno de $ a $ é:
n
E o resto de Lagrange nos mostra o erro dessa aproximação:
a
onde $ c $ está entre $ a $ e $ x $.

Passo 3

No nosso caso, o ponto $ a $ é 1. Então, vamos calcular as derivadas de $ f(x) = x \cdot \ln(x) $ até a ordem $ n $ em $ x = 1 $.
Primeira derivada:
a
Segunda derivada:
f(x) = x cdot ln(x)
Terceira derivada:
n
E assim por diante. Observamos que as derivadas alternam sinais e envolvem potências de $ \frac{1}{x} $.

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas em $ x = 1 $:
x = 1
f(1) = 1 cdot ln(1) = 0
f'(1) = ln(1) + 1 = 1
f''(1) = 11 = 1
Continuando assim, vemos que:
f'''(1) = -11^2 = -1

Passo 5

Com as derivadas avaliadas, vamos montar o polinômio de Taylor $ P_n(x) $:
Pn(x)
Substituindo os valores que calculamos:
Pn(x) = f(1) + f'(1)(x - 1) + f''(1)2!(x - 1)^2 + dots + f^(n)(1)n!(x - 1)^n

Passo 6

Agora, vamos escrever a fórmula de Taylor com o resto de Lagrange. Isso significa que além do polinômio $ P_n(x) $, temos um termo que representa o erro da aproximação:
Pn(x)
Onde:
f(x) = Pn(x) + Rn(x)
E $ c $ é algum valor entre 1 e $ x $.

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem $ n $ para $ f(x) = x \cdot \ln(x) $ no ponto $ x = 1 $ é:
n
E a fórmula completa de Taylor com o resto de Lagrange é:
f(x) = x cdot ln(x)
onde $ c $ está entre 1 e $ x $.

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