Considere a função
Obtenha o polinômio de Taylor da função apresentada no ponto
e com ordem
. Escreva a fórmula de Taylor com resto de Lagrange.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = x \cdot \ln(x) $ e precisa encontrar o polinômio de Taylor dela no ponto $ x = 1 $ com ordem $ n $. Para isso, vamos usar o conceito de série de Taylor e a fórmula do resto de Lagrange. Vamos precisar calcular as derivadas da função até a ordem $ n $ e entender como montar o polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. É uma maneira de aproximar uma função suave próximo a um ponto usando polinômios. A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem $ n $ em torno de $ a $ é:
E o resto de Lagrange nos mostra o erro dessa aproximação:
onde $ c $ está entre $ a $ e $ x $.
Passo 3
No nosso caso, o ponto $ a $ é 1. Então, vamos calcular as derivadas de $ f(x) = x \cdot \ln(x) $ até a ordem $ n $ em $ x = 1 $.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
E assim por diante. Observamos que as derivadas alternam sinais e envolvem potências de $ \frac{1}{x} $.
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas em $ x = 1 $:
Continuando assim, vemos que:
Passo 5
Com as derivadas avaliadas, vamos montar o polinômio de Taylor $ P_n(x) $:
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 6
Agora, vamos escrever a fórmula de Taylor com o resto de Lagrange. Isso significa que além do polinômio $ P_n(x) $, temos um termo que representa o erro da aproximação:
Onde:
E $ c $ é algum valor entre 1 e $ x $.
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem $ n $ para $ f(x) = x \cdot \ln(x) $ no ponto $ x = 1 $ é:
E a fórmula completa de Taylor com o resto de Lagrange é:
onde $ c $ está entre 1 e $ x $.