(EUA) Se x é um número satisfazendo a equação raiz[3]x+9-raiz[3]x-9=3, então x^2 está entre
a) 55 e 65 .
b) 65 e 75 .
c) 75 e 85 .
d) 85 e 95 .
e) 95 e 105 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação juntos! O problema é: Se $ x $ é um número que satisfaz a equação x , então precisamos descobrir em qual intervalo $ x^{2} $ está. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra, especificamente envolvendo raízes cúbicas e equações de terceiro grau.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar raiz[3]x+9 de a e raiz[3]x-9 de b. Assim, nossa equação fica:
a - b = 3
Sabemos também que:
a^3 = x + 9 e b^3 = x - 9

Passo 3

Vamos encontrar uma relação entre a e b. Subtraindo as duas últimas equações:
a^3 - b^3 = (x + 9) - (x - 9) = 18
Lembrando que a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2), podemos escrever:
3(a^2 + ab + b^2) = 18 Rightarrow a^2 + ab + b^2 = 6

Passo 4

Agora, queremos expressar ab. Sabemos que:
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
Substituindo a - b = 3:
9 = a^2 - 2ab + b^2
Mas já temos a^2 + ab + b^2 = 6. Vamos subtrair as duas equações:
(a^2 + ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = 6 - 9
3ab = -3 Rightarrow ab = -1

Passo 5

Agora que sabemos que ab = -1, vamos usar a relação a^3 - b^3 = 18 e lembrar que a^3 + b^3 = 2x:
a^3 + b^3 = (x + 9) + (x - 9) = 2x
Sabemos que:
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
Já temos a^2 + b^2 = 6 - ab = 6 - (-1) = 7, então:
a^3 + b^3 = (a + b)(7 + 1) = 8(a + b)
Mas a^3 + b^3 = 2x, então:
2x = 8(a + b) Rightarrow x = 4(a + b)

Passo 6

Temos duas equações importantes agora:
  1. $ a - b = 3 $
  2. $ a + b = \frac{x}{4} $
Vamos resolver para a - b = 3 e a + b = x4 . Somando as duas equações:
a
b
Subtraindo as equações:
(a - b) + (a + b) = 3 + x4 Rightarrow 2a = 3 + x4
a = 32 + x8

Passo 7

Vamos usar a relação ab = -1:
(32 + x8) (x8 - 32) = -1
Multiplicando os termos:
3x16 - 94 + x^264 - 3x16 = -1
Simplificando:
x^264 - 94 = -1

Passo 8

Isolando x^2:
x^264 = -1 + 94 = 54
x^2 = 54 times 64 = 80

Resposta

$ x^{2} = 80 $, então está entre 75 e 85. A opção correta é a letra c).

Exercícios relacionados