Seja a superficie exterior do paraboloide , onde . Determine
Sendo f o campo vetorial dado por f(x, y, z)=(3 x, 3 y,-3 z).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma superfície S que é a parte externa de um paraboloide dado por r(x, y) = (x, y, x^2 + y^2), onde (x, y) está no conjunto R = (x, y) mid x^2 + y^2 <= 4. Queremos calcular a integral de superfície:
integral duplaS f cdot n , dS
Aqui, f é o campo vetorial (3x, 3y, -3z). Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral do divergente do campo sobre o volume limitado por essa superfície.
Passo 2
Primeiro, como temos um paraboloide aberto na base (um disco no plano z=4), precisamos fechar a superfície para poder aplicar o Teorema da Divergência. Então, além do paraboloide S, adicionamos o disco D definido por z=4 e x^2 + y^2 <= 4. Assim, agora temos uma superfície fechada composta por S e D.
Passo 3
Vamos aplicar o Teorema da Divergência:
integral duplaSfechada f cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot f , dV
Onde Sfechada = S + D e V é o volume dentro dessa superfície. Primeiro, precisamos calcular o divergente de f.
Agora, vamos calcular a integral tripla do divergente sobre o volume V. O volume está limitado pelo paraboloide z = x^2 + y^2 e pelo disco z = 4. Usando coordenadas cilíndricas para facilitar, onde x = rcostheta, y = rsintheta, e z = z.
Os limites serão:
r de 0 a 2 (já que x^2 + y^2 <= 4),
theta de 0 a 2pi,
z de r^2 a 4.
A integral fica:
integral triplaV 3 , dV = 3 integral0^2pi integral0^2 integralr^2^4 r , dz, dr, dtheta
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo:
Primeiro, integramos em z:
integralr^2^4 dz = 4 - r^2
Agora, a integral fica:
3 integral0^2pi integral0^2 (4 - r^2) r , dr, dtheta
A integral do fluxo sobre a superfície fechada Sfechada é 24pi. Porém, queremos apenas o fluxo através do paraboloide S, não incluindo o disco D. Então, precisamos calcular o fluxo através de D e subtrair do total.
Passo 8
Para o disco D em z=4, a normal é para cima, então n = (0, 0, 1). O campo f em z=4 é (3x, 3y, -12). O produto escalar f cdot n = -12. A área do disco é pi (2)^2 = 4pi.
Então, o fluxo através de D é:
integral duplaD f cdot n , dS = -12 times 4pi = -48pi
Resposta
O fluxo através do paraboloide S é 24pi - (-48pi) = 72pi.