Considere uma função f(x) que converte um número real x no maior número inteiro menor ou igual a x. E indica-se por lceil xrceil, e chamada de função teto . Construa o gráfico da função teto no domínio 0 <= x <= 5. E determine seu conjunto imagem. Em quais pontos do domínio a função teto é descontinua?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com a função teto, que é representada por lceil x rceil. Essa função pega um número real x e retorna o menor número inteiro que é maior ou igual a x. Nosso objetivo é:
  1. Construir o gráfico dessa função no domínio de 0 <= x <= 5.
  2. Determinar o conjunto imagem dessa função.
  3. Identificar os pontos de descontinuidade no domínio.
Para isso, vamos precisar entender o que é uma função teto, como desenhar gráficos de funções por partes e o conceito de continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a função teto. A função teto lceil x rceil arredonda o número x para cima, ou seja, para o próximo número inteiro. Por exemplo:
  • lceil 2.3 rceil = 3
  • lceil 4.0 rceil = 4
  • lceil 5.9 rceil = 6
Isso significa que, para qualquer número entre dois inteiros, a função teto vai “subir” para o inteiro seguinte.

Passo 3

Agora, vamos construir o gráfico da função teto no intervalo de 0 a 5. Para isso, vamos identificar como a função se comporta em cada intervalo entre os inteiros.
  • Para 0 < x <= 1, lceil x rceil = 1
  • Para 1 < x <= 2, lceil x rceil = 2
  • Para 2 < x <= 3, lceil x rceil = 3
  • Para 3 < x <= 4, lceil x rceil = 4
  • Para 4 < x <= 5, lceil x rceil = 5
  • E para x = 0, lceil 0 rceil = 0
Então, o gráfico vai ser uma série de “degraus”, onde em cada intervalo entre dois inteiros, a função mantém o mesmo valor inteiro até saltar para o próximo.

Passo 4

Vamos identificar o conjunto imagem da função, ou seja, todos os valores que a função pode assumir nesse domínio. Observando os intervalos que vimos:
lceil x rceil pode ser 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Portanto, o conjunto imagem é 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Passo 5

Por último, vamos ver onde a função teto é descontínua. Uma função é descontínua em um ponto se houver um “salto” no gráfico. Observando nosso gráfico de degraus, percebemos que a função salta de um inteiro para o próximo exatamente nos pontos onde x é inteiro.
Então, no nosso domínio de 0 a 5, os pontos de descontinuidade são x = 1, 2, 3, 4, 5.

Resposta

O gráfico da função teto no intervalo de 0 <= x <= 5 é uma sequência de degraus que vai de 0 a 5. O conjunto imagem é 0, 1, 2, 3, 4, 5. A função teto é descontínua nos pontos x = 1, 2, 3, 4, 5.

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