Seja x>0, construa os gráficos das funções f(x)=1 / x e g(x)=x, no mesmo plano cartesiano. De posse dos gráficos de f e g, construa a gráfico da função h(x)=máxx, 1x. A função h(x) é continua em seu domínio?

Passo 1

Então, você tem uma função e outra função , onde . O que a gente precisa fazer é desenhar os gráficos dessas duas funções no mesmo plano cartesiano. Depois disso, vamos construir o gráfico da função , que basicamente escolhe o maior valor entre e para cada . Por fim, vamos verificar se a função é contínua no seu domínio. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre gráficos de funções, funções máximas e o conceito de continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como são os gráficos das funções e .
Para :
  • É uma função hiperbólica. À medida que aumenta, diminui.
  • Quando está perto de 0, cresce muito.
Para :
  • É uma linha reta que passa pela origem com inclinação 45 graus.
  • À medida que aumenta, também aumenta proporcionalmente.
Vamos esboçar esses gráficos para .

Passo 3

Agora, vamos construir o gráfico da função . Isso significa que, para cada valor de , vai escolher o maior valor entre e .
Para visualizar isso:
  • Para : , então .
  • Para : , então .
  • Para : , então .
Então, o gráfico de vai seguir o gráfico de quando e o gráfico de quando , com o ponto de transição em .

Passo 4

Agora, vamos analisar a continuidade da função .
Uma função é contínua no seu domínio se não houver “saltos” ou interrupções no gráfico. No nosso caso:
  • Para , é contínua.
  • Para , também é contínua.
  • Em , os dois pedaços se encontram perfeitamente em , sem nenhuma quebra ou salto.
Portanto, a função não apresenta nenhuma descontinuidade no seu domínio .

Resposta

A função é contínua em todo o seu domínio .

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