Seja
, construa os gráficos das funções
, no mesmo plano cartesiano. De posse dos gráficos de
e
, construa a gráfico da função
. A função
é continua em seu domínio?
Passo 1
Então, você tem uma função
e outra função
, onde
. O que a gente precisa fazer é desenhar os gráficos dessas duas funções no mesmo plano cartesiano. Depois disso, vamos construir o gráfico da função
, que basicamente escolhe o maior valor entre
e
para cada
. Por fim, vamos verificar se a função
é contínua no seu domínio. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre gráficos de funções, funções máximas e o conceito de continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como são os gráficos das funções
e
.
Para
:
- É uma função hiperbólica. À medida que
aumenta, diminui. - Quando
está perto de 0, cresce muito.
Para
:
- É uma linha reta que passa pela origem com inclinação 45 graus.
- À medida que
aumenta, também aumenta proporcionalmente.
Vamos esboçar esses gráficos para
.
Passo 3
Agora, vamos construir o gráfico da função
. Isso significa que, para cada valor de
,
vai escolher o maior valor entre
e
.
Para visualizar isso:
- Para
: , então . - Para
: , então . - Para
: , então .
Então, o gráfico de
vai seguir o gráfico de
quando
e o gráfico de
quando
, com o ponto de transição em
.
Passo 4
Agora, vamos analisar a continuidade da função
.
Uma função é contínua no seu domínio se não houver “saltos” ou interrupções no gráfico. No nosso caso:
- Para
, é contínua. - Para
, também é contínua. - Em
, os dois pedaços se encontram perfeitamente em , sem nenhuma quebra ou salto.
Portanto, a função
não apresenta nenhuma descontinuidade no seu domínio
.
Resposta
A função
é contínua em todo o seu domínio
.