A Equação da Onda em uma dimensão espacial é dada pela expressão
ut t-c^2 ux x=0,
onde a solução u(x, t) é uma função da posição x e do tempo t. Verifique se as seguintes funções são soluções da Equação da Onda:
f(x, t)=sin (x) cos (c t)+42 t

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f(x,t)=sin(x)cos(c t)+42t satisfaz a Equação da Onda unidimensional utt-c^2uxx=0. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem em relação a t e x.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas em relação ao tempo. A derivada primeira é
ft(x,t)=-csin(x),sin(c t)+42
E a derivada segunda em t é
ftt(x,t)=-c^2sin(x),cos(c t)

Passo 3

Agora, calculamos as derivadas em relação à posição. A derivada primeira é
fx(x,t)=cos(x),cos(c t)
E a derivada segunda em x é
fxx(x,t)=-sin(x),cos(c t)

Passo 4

Substituímos ftt e fxx na Equação da Onda:
ftt-c^2fxx = l(-c^2sin(x)cos(c t)r) - c^2l(-sin(x)cos(c t)r) = 0

Passo 5

Como a combinação ftt-c^2fxx resulta exatamente em zero, concluímos que f(x,t) satisfaz a Equação da Onda.

Resposta

Sim, a função f(x,t)=sin(x)cos(c t)+42t é solução da Equação da Onda unidimensional.

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