Considere uma função f(x) que converte um número real x no menor número inteiro maior ou igual a x. E indica-se por lfloor xrfloor, e chamada de função piso. Construa o gráfico da função piso no domínio 0 <= x <= 5. E determine seu conjunto imagem. Em quais pontos do domínio a função piso é descontinua?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função chamada f(x), conhecida como função piso, que transforma qualquer número real x no maior número inteiro menor ou igual a x, ou seja, lfloor x rfloor. Nosso objetivo é:
  1. Construir o gráfico dessa função no intervalo de 0 a 5.
  2. Determinar o conjunto imagem da função.
  3. Identificar os pontos no domínio onde a função é descontínua.
Para resolver isso, vamos precisar entender como a função piso funciona e como representar graficamente funções que só assumem valores inteiros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função piso lfloor x rfloor. Ela pega qualquer número real x e o arredonda para baixo, ou seja, para o maior número inteiro que não é maior que x. Por exemplo:
  • lfloor 2.3 rfloor = 2
  • lfloor 4.9 rfloor = 4
  • lfloor 3 rfloor = 3
Isso significa que a função piso cria “degraus” no gráfico, onde cada degrau corresponde a um intervalo entre dois inteiros consecutivos.

Passo 3

Agora, vamos construir o gráfico da função piso no intervalo 0 <= x <= 5. Vamos dividir esse intervalo em subintervalos onde a função mantém um valor constante:
  • Para 0 <= x < 1, lfloor x rfloor = 0
  • Para 1 <= x < 2, lfloor x rfloor = 1
  • Para 2 <= x < 3, lfloor x rfloor = 2
  • Para 3 <= x < 4, lfloor x rfloor = 3
  • Para 4 <= x < 5, lfloor x rfloor = 4
  • E para x = 5, lfloor 5 rfloor = 5
No gráfico, cada um desses intervalos será representado por uma linha horizontal contínua, e nos pontos inteiros haverá um “salto” para o próximo valor inteiro.

Passo 4

Vamos determinar o conjunto imagem da função piso. O conjunto imagem é o conjunto de todos os valores possíveis que a função pode assumir. Observando os intervalos que definimos:
  • Quando 0 <= x < 1, f(x) = 0
  • Quando 1 <= x < 2, f(x) = 1
  • Quando 2 <= x < 3, f(x) = 2
  • Quando 3 <= x < 4, f(x) = 3
  • Quando 4 <= x < 5, f(x) = 4
  • Quando x = 5, f(x) = 5
Portanto, o conjunto imagem é 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Passo 5

Por último, vamos identificar os pontos no domínio onde a função piso é descontínua. Uma função é descontínua em um ponto se houver um “salto” no gráfico nesse ponto. Observando o gráfico da função piso:
  • Há um salto em cada número inteiro dentro do intervalo considerado.
  • Especificamente, nos pontos x = 1, x = 2, x = 3, x = 4 e x = 5, a função passa de um valor inteiro para o próximo.
Portanto, a função piso é descontínua nesses pontos.

Resposta

A função piso no domínio 0 <= x <= 5 possui um gráfico em forma de degraus, com valores constantes de 0 a 5. O conjunto imagem da função é 0, 1, 2, 3, 4, 5. A função é descontínua nos pontos x = 1, x = 2, x = 3, x = 4 e x = 5.

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