Considere uma função
que converte um número real
no menor número inteiro maior ou igual a
. E indica-se por
, e chamada de função piso. Construa o gráfico da função piso no domínio
. E determine seu conjunto imagem. Em quais pontos do domínio a função piso é descontinua?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função chamada
, conhecida como função piso, que transforma qualquer número real
no maior número inteiro menor ou igual a
, ou seja,
. Nosso objetivo é:
- Construir o gráfico dessa função no intervalo de
a . - Determinar o conjunto imagem da função.
- Identificar os pontos no domínio onde a função é descontínua.
Para resolver isso, vamos precisar entender como a função piso funciona e como representar graficamente funções que só assumem valores inteiros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função piso
. Ela pega qualquer número real
e o arredonda para baixo, ou seja, para o maior número inteiro que não é maior que
. Por exemplo:
Isso significa que a função piso cria “degraus” no gráfico, onde cada degrau corresponde a um intervalo entre dois inteiros consecutivos.
Passo 3
Agora, vamos construir o gráfico da função piso no intervalo
. Vamos dividir esse intervalo em subintervalos onde a função mantém um valor constante:
- Para
, - Para
, - Para
, - Para
, - Para
, - E para
,
No gráfico, cada um desses intervalos será representado por uma linha horizontal contínua, e nos pontos inteiros haverá um “salto” para o próximo valor inteiro.
Passo 4
Vamos determinar o conjunto imagem da função piso. O conjunto imagem é o conjunto de todos os valores possíveis que a função pode assumir. Observando os intervalos que definimos:
- Quando
, - Quando
, - Quando
, - Quando
, - Quando
, - Quando
,
Portanto, o conjunto imagem é
.
Passo 5
Por último, vamos identificar os pontos no domínio onde a função piso é descontínua. Uma função é descontínua em um ponto se houver um “salto” no gráfico nesse ponto. Observando o gráfico da função piso:
- Há um salto em cada número inteiro dentro do intervalo considerado.
- Especificamente, nos pontos
, , , e , a função passa de um valor inteiro para o próximo.
Portanto, a função piso é descontínua nesses pontos.
Resposta
A função piso no domínio
possui um gráfico em forma de degraus, com valores constantes de
a
. O conjunto imagem da função é
. A função é descontínua nos pontos
,
,
,
e
.