Considere a função f(x)=x^3 cos (2x).
Mostre que existe um número real c tal que f(c)=1.

Passo 1

Temos a função f(x)=x^3cosl(2/xr). O conteúdo principal é continuidade de funções compostas e o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Nosso objetivo é mostrar que existe c tal que f(c)=1. Para isso, vamos encontrar um intervalo [a,b] em que f(a)<1 e usar o TVI.

Passo 2

Primeiro, mostramos que f é contínua em qualquer intervalo que não contenha zero, por exemplo em [1,2]. A função xmapsto x^3 é contínua em R, e xmapstocosl(2/xr) é contínua em xneq0. Logo, f(x)=x^3cosl(2/xr) é contínua em [1,2].

Passo 3

Agora avaliamos f nas extremidades desse intervalo:
f(1)=1^3cos(2)=cos(2)approx-0,416<1,
f(2)=2^3cos(1)=8cos(1)approx8times0,540>1

Passo 4

Como f(1)<1 e f é contínua em [1,2], pelo Teorema do Valor Intermediário existe cin(1,2) tal que f(c)=1.

Resposta

Existe cin(1,2) tal que f(c)=1.

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