Determine o centro e o raio da esfera dada pela equação
x^2+y^2+z^2+4 x-6 y+2 z+6=0

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos encontrar o centro e o raio de uma esfera a partir da equação dada. Para isso, vamos usar a matéria de geometria analítica, especificamente a forma padrão da equação de uma esfera e a técnica de completar o quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de x, y e z separadamente:
x^2 + 4x + y^2 - 6y + z^2 + 2z + 6 = 0

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis x, y e z.
Para x:
Começamos com x^2 + 4x.
  1. Pegamos o coeficiente de x, que é 4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: (42)^2 = 4.
  2. Adicionamos e subtraímos esse valor na expressão:
x^2 + 4x + 4 - 4 = (x + 2)^2 - 4
Para y:
Temos y^2 - 6y.
  1. Pegamos o coeficiente de y, que é -6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: (-62)^2 = 9.
  2. Adicionamos e subtraímos esse valor:
y^2 - 6y + 9 - 9 = (y - 3)^2 - 9
Para z:
Temos z^2 + 2z.
  1. Pegamos o coeficiente de z, que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: (22)^2 = 1.
  2. Adicionamos e subtraímos esse valor:
z^2 + 2z + 1 - 1 = (z + 1)^2 - 1

Passo 4

Substituímos as expressões completadas de volta na equação original:
(x + 2)^2 - 4 + (y - 3)^2 - 9 + (z + 1)^2 - 1 + 6 = 0
Agora, vamos somar os números constantes:
-4 - 9 - 1 + 6 = -8
Então, a equação fica:
(x + 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 1)^2 - 8 = 0
Adicionando 8 em ambos os lados para isolar os termos quadrados:
(x + 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 1)^2 = 8

Resposta

O centro da esfera é (-2, 3, -1) e o raio é raiz8, que simplifica para 2raiz2.

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