Determine o centro e o raio da esfera dada pela equação
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos encontrar o centro e o raio de uma esfera a partir da equação dada. Para isso, vamos usar a matéria de geometria analítica, especificamente a forma padrão da equação de uma esfera e a técnica de completar o quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de
,
e
separadamente:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis
,
e
.
Para
:
Começamos com
.
- Pegamos o coeficiente de
, que é 4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: . - Adicionamos e subtraímos esse valor na expressão:
Para
:
Temos
.
- Pegamos o coeficiente de
, que é -6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: . - Adicionamos e subtraímos esse valor:
Para
:
Temos
.
- Pegamos o coeficiente de
, que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: . - Adicionamos e subtraímos esse valor:
Passo 4
Substituímos as expressões completadas de volta na equação original:
Agora, vamos somar os números constantes:
Então, a equação fica:
Adicionando 8 em ambos os lados para isolar os termos quadrados:
Resposta
O centro da esfera é
e o raio é
, que simplifica para
.