Questão: Calcule os limites:
c) lim x infty(2+sin xx) Sugestão: Use a desigualdade 0 <=|sin x| <= 1

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite limx infty(2 + sin xx). Aqui, estamos lidando com limites, uma parte da matemática que estuda o comportamento de funções quando a variável se aproxima de um certo valor. Para resolver isso, vamos usar a desigualdade 0 <= |sin x| <= 1.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a desigualdade 0 <= |sin x| <= 1 significa. O seno de qualquer número real sempre está entre -1 e 1. Ou seja, -1 <= sin x <= 1. Quando tiramos o valor absoluto, ficamos com 0 <= |sin x| <= 1.

Passo 3

Agora, vamos dividir todos os lados da desigualdade por x, que é positivo quando x tende ao infinito. Assim temos:
0 <= |sin xx| <= 1x

Passo 4

Sabemos que quando x vai para o infinito, 1x tende a 0. Ou seja:
limx infty 1x = 0
Portanto, pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche), como |sin xx| está entre 0 e 1x, também temos:
limx infty sin xx = 0

Passo 5

Agora que sabemos que limx infty sin xx = 0, podemos voltar à expressão original:
limx infty (2 + sin xx) = 2 + 0 = 2

Resposta

O limite é igual a 2.

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