Dê um exemplo de duas funções f(x) e g(x) tais que lim x 1 f(x)=infty, lim x 1 g(x)=infty tais que
lim x 1 f(x)g(x)=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar duas funções cujos limites em x→1 sejam +∞ mas cuja razão tenha limite 0. O conteúdo envolve limites infinitos e comparação de ordens de infinidade, usando funções que explodem em x=1.

Passo 2

Para que cada função tenda a +∞ em x→1, podemos usar singularidades no denominador. Por exemplo, escolhemos
f(x)=1lvert x-1rverte g(x)=1(x-1)^2 Essas funções têm polo em x=1.

Passo 3

Vamos verificar que cada limite é +∞. Temos
limxto1f(x)=limxto11lvert x-1rvert=+infty,
pois o denominador vai a zero e o numerador é positivo constante. E
limxto1g(x)=limxto11(x-1)^2=+infty,
já que o quadrado também tende a zero.

Passo 4

Agora calculamos a razão e o seu limite:
f(x)g(x)=1/lvert x-1rvert1/(x-1)^2=(x-1)^2lvert x-1rvert=lvert x-1rvert
Portanto,
limxto1f(x)g(x)=limxto1lvert x-1rvert=0

Resposta

Um exemplo é
f(x)=1lvert x-1rvert, g(x)=1(x-1)^2,
pois ambos divergem para +∞ em x→1 e
limxto1f(x)g(x)=0

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