Considere a função
dada por:
A função possui assíntotas verticais? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá a função
A pergunta é: “A função possui assíntotas verticais?” — ou seja, preciso decidir se existe alguma reta vertical
tal que a função tende a
ou
quando
se aproxima de
por um dos lados. Não há outras informações fornecidas além da expressão da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar direitinho a definição usada em prova para assíntota vertical. Uma reta vertical
é assíntota vertical de
se, pelo menos para um dos limites laterais, valer
Aqui
é um número real fixo e os limites são unilaterais (pela esquerda
e pela direita
). Em palavras: perto de
a função explode em módulo para infinito. Se em
a função for finita e contínua, não pode haver assíntota vertical em
.
Passo 3
Agora vou examinar a função dada. Vou usar dois fatos simples que você deve lembrar (e que valem para provas):
- A função exponencial
está definida e é contínua para todo . - A função seno
está definida e é contínua para todo .
Aqui a variável
é um número real qualquer; em cada ponto
essas duas funções têm valores finitos
e
.
Passo 4
Resultado importante sobre limites e continuidade que uso agora: o produto de duas funções contínuas em
também é contínuo em
. Em termos de limites, se
e
são contínuas em
então
um número finito. Aplicando isso a
e
, ambas contínuas em qualquer
, obtemos
que é um número real finito para todo
. Em particular os limites laterais também existem e coincidem com esse valor finito:
Passo 5
Da observação anterior segue a conclusão-chave para assíntotas verticais: como para todo
os limites laterais em
são finitos (igualam
), não existe nenhum
tal que algum limite lateral seja
ou
. Logo não há nenhuma reta vertical
que seja assíntota vertical de
.
Um comentário extra para evitar confusão: embora a função não tenha assíntotas verticais em pontos finitos, seu comportamento quando
é de crescimento em módulo (porque
cresce e
oscila entre
e
), mas isso não é uma assíntota vertical — assíntotas verticais só se referem a explosão em torno de uma
finita.
Resposta
Não — a função não possui assíntotas verticais.