Considere a função f(x) dada por:
f(x)=e^{2 x} \operatorname{sen}(x)
A função possui assíntotas verticais? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=e^{2x}\operatorname{sen}(x).
A pergunta é: “A função possui assíntotas verticais?” — ou seja, preciso decidir se existe alguma reta vertical x=a tal que a função tende a +\infty ou -\infty quando x se aproxima de a por um dos lados. Não há outras informações fornecidas além da expressão da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar direitinho a definição usada em prova para assíntota vertical. Uma reta vertical x=a é assíntota vertical de f se, pelo menos para um dos limites laterais, valer
\lim_{x\to a^-} f(x)=\pm\infty \qquad\text{ou}\qquad \lim_{x\to a^+} f(x)=\pm\infty.
Aqui a é um número real fixo e os limites são unilaterais (pela esquerda x\to a^- e pela direita x\to a^+). Em palavras: perto de x=a a função explode em módulo para infinito. Se em x=a a função for finita e contínua, não pode haver assíntota vertical em x=a.

Passo 3

Agora vou examinar a função dada. Vou usar dois fatos simples que você deve lembrar (e que valem para provas):
  • A função exponencial x\mapsto e^{2x} está definida e é contínua para todo x\in\mathbb{R}.
  • A função seno x\mapsto \operatorname{sen}(x) está definida e é contínua para todo x\in\mathbb{R}.
Aqui a variável x é um número real qualquer; em cada ponto a\in\mathbb{R} essas duas funções têm valores finitos e^{2a} e \operatorname{sen}(a).

Passo 4

Resultado importante sobre limites e continuidade que uso agora: o produto de duas funções contínuas em a também é contínuo em a. Em termos de limites, se g e h são contínuas em a então
\lim_{x\to a} g(x)h(x)=g(a)h(a),
um número finito. Aplicando isso a g(x)=e^{2x} e h(x)=\operatorname{sen}(x), ambas contínuas em qualquer a, obtemos
\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} e^{2x}\operatorname{sen}(x)=e^{2a}\operatorname{sen}(a),
que é um número real finito para todo a\in\mathbb{R}. Em particular os limites laterais também existem e coincidem com esse valor finito:
\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=e^{2a}\operatorname{sen}(a).

Passo 5

Da observação anterior segue a conclusão-chave para assíntotas verticais: como para todo a\in\mathbb{R} os limites laterais em a são finitos (igualam f(a)), não existe nenhum a tal que algum limite lateral seja +\infty ou -\infty. Logo não há nenhuma reta vertical x=a que seja assíntota vertical de f.
Um comentário extra para evitar confusão: embora a função não tenha assíntotas verticais em pontos finitos, seu comportamento quando x\to+\infty é de crescimento em módulo (porque e^{2x} cresce e \operatorname{sen}(x) oscila entre -1 e 1), mas isso não é uma assíntota vertical — assíntotas verticais só se referem a explosão em torno de uma x=a finita.

Resposta

Não — a função não possui assíntotas verticais.

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