Calcule os limites abaixo, apresentando de forma detalhada todas as etapas da resolução e indicando as propriedades ou teoremas utilizados. Não use a regra de L’Hospital.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-3 x+2}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-4}.
Informações dadas:
  • A expressão do numerador é x^{2}-3x+2.
  • A expressão do denominador é x^{2}-4.
  • O ponto de interesse é x=2.

Passo 2

Tentar a substituição direta para ver se o limite é imediato. Calcular numerador e denominador em x=2:
\text{numerador em }2: \;2^{2}-3\cdot2+2 = 4-6+2 = 0,
\text{denominador em }2: \;2^{2}-4 = 4-4 = 0.
Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada 0/0. Explicando rápido: a forma 0/0 significa que não dá para concluir o valor do limite só substituindo — é preciso manipular a expressão para investigar o comportamento perto de x=2.

Passo 3

Uma técnica padrão para tratar 0/0 em funções racionais é fatorar numerador e denominador e simplificar fatores comuns. Vamos fatorar cada polinômio.
Fatorando o numerador x^{2}-3x+2: procurar raízes da equação x^{2}-3x+2=0. Usando fatoração por inspeção ou fórmula de Bhaskara, os zeros são x=1 e x=2. Assim
x^{2}-3x+2 = (x-1)(x-2).
Fatorando o denominador x^{2}-4: reconhecer diferença de quadrados,
x^{2}-4 = (x-2)(x+2).

Passo 4

Substituindo as fatorações na fração temos, para x\neq2,
\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-4} = \frac{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x+2)}.
Como x\neq2 na vizinhança do ponto (estamos estudando limite, não valor no ponto), podemos cancelar o fator comum (x-2), obtendo a função equivalente em torno de x=2:
\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-4} = \frac{x-1}{x+2},\qquad \text{para } x\neq2.
Justificativa teórica: se duas funções coincidem em todo ponto de uma vizinhança de a exceto possivelmente em a próprio, então elas têm o mesmo limite quando x\to a. Aqui a função original e a função simplificada coincidem para 0<|x-2|<\delta, logo têm o mesmo limite em x\to2.

Passo 5

Agora avaliar o limite da expressão simplificada. A função \dfrac{x-1}{x+2} é razão de polinômios e é contínua onde o denominador não é zero. Como x+2 em x=2 vale 4\neq0, é seguro fazer substituição direta:
\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-1}{x+2} = \frac{2-1}{2+2} = \frac{1}{4}.
Portanto o limite procurado existe e vale \dfrac{1}{4}.

Passo 6

Interpretação final e observação pedagógica: a indeterminação original \,0/0, ocorreu porque tanto numerador quanto denominador têm a raiz x=2. Isso gerou um “buraco” (discontinuidade removível) na função original. Ao cancelar o fator comum obtemos uma função contínua na vizinhança de x=2 cujo valor em 2 (se definido) seria \dfrac{1}{4}. Na prova, quando encontrar 0/0 em funções racionais, tente sempre fatorar e simplificar antes de recorrer a métodos mais avançados.

Resposta

\dfrac{1}{4}

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