Calcule os limites abaixo, apresentando de forma detalhada todas as etapas da resolução e indicando as propriedades ou teoremas utilizados. Não use a regra de L’Hospital.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão do numerador é
. - A expressão do denominador é
. - O ponto de interesse é
.
Passo 2
Tentar a substituição direta para ver se o limite é imediato. Calcular numerador e denominador em
:
Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada
. Explicando rápido: a forma
significa que não dá para concluir o valor do limite só substituindo — é preciso manipular a expressão para investigar o comportamento perto de
.
Passo 3
Uma técnica padrão para tratar
em funções racionais é fatorar numerador e denominador e simplificar fatores comuns. Vamos fatorar cada polinômio.
Fatorando o numerador
: procurar raízes da equação
. Usando fatoração por inspeção ou fórmula de Bhaskara, os zeros são
e
. Assim
Fatorando o denominador
: reconhecer diferença de quadrados,
Passo 4
Substituindo as fatorações na fração temos, para
,
Como
na vizinhança do ponto (estamos estudando limite, não valor no ponto), podemos cancelar o fator comum
, obtendo a função equivalente em torno de
:
Justificativa teórica: se duas funções coincidem em todo ponto de uma vizinhança de
exceto possivelmente em
próprio, então elas têm o mesmo limite quando
. Aqui a função original e a função simplificada coincidem para
, logo têm o mesmo limite em
.
Passo 5
Agora avaliar o limite da expressão simplificada. A função
é razão de polinômios e é contínua onde o denominador não é zero. Como
em
vale
, é seguro fazer substituição direta:
Portanto o limite procurado existe e vale
.
Passo 6
Interpretação final e observação pedagógica: a indeterminação original
, ocorreu porque tanto numerador quanto denominador têm a raiz
. Isso gerou um “buraco” (discontinuidade removível) na função original. Ao cancelar o fator comum obtemos uma função contínua na vizinhança de
cujo valor em
(se definido) seria
. Na prova, quando encontrar
em funções racionais, tente sempre fatorar e simplificar antes de recorrer a métodos mais avançados.