Considere a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por:
\[f(x)= \begin{cases}x^{2}+k, & \text { se } x \leq 1 \\\ m x-1, & \text { se } x>1\end{cases}
Determine os valores das constantes reais m\] e \(k para que a função f(x) seja diferenciável no ponto x=1.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}x^{2}+k, & \text{se } x \leq 1,\\[4pt] m x-1, & \text{se } x>1,\end{cases}
e pede: determinar os valores reais m e k para que f seja diferenciável no ponto x=1.
Informações relevantes fornecidas:
A expressão de f à esquerda de x=1 é x^{2}+k (válida em x\le 1).
A expressão de f à direita de x=1 é m x-1 (válida em x>1).
A condição pedida é diferenciabilidade em x=1, o que envolve continuidade e derivadas laterais em x=1.]
Passo 2
Entender o que significa "ser diferenciável em x=1" (mini-aula curtinha and divertida).
Para uma função ser diferenciável em x=1 é necessário (e suficiente) que:
f seja contínua em x=1; e
as derivadas laterais em x=1 (a derivada pela esquerda e pela direita) existam e sejam iguais.
Continuidade em x=1 significa que o valor da função em 1 coincide com os limites laterais:
\lim_{x\to1^-} f(x)=f(1)=\lim_{x\to1^+} f(x).
No caso de função por partes onde o ramo esquerdo vale em x=1 (aqui tem x\le1), então f(1) é dado pela expressão da parte esquerda.
A derivada lateral pela esquerda em x=1 é a derivada da expressão que vale para x\le1, avaliada em 1. A derivada lateral pela direita em x=1 é a derivada da expressão que vale para x>1, avaliada em 1. Para diferenciabilidade essas duas derivadas devem ser iguais.
Passo 3
Aplicar a condição de continuidade.
O valor em x=1 (pego da parte esquerda, pois a definição inclui x=1) é
f(1)=1^{2}+k=1+k.
O limite da direita em x=1 (usando a parte direita m x-1) é
\lim_{x\to1^+} f(x)=m\cdot1-1=m-1.
Igualando para garantir continuidade:
1+k=m-1.
Resolvendo essa equação para k em função de m:
k=m-2.
Portanto, qualquer par (m,k) que satisfaça k=m-2 garante continuidade em x=1.
Passo 4
Aplicar a condição de igualdade das derivadas laterais.
Derivada da parte esquerda x^{2}+k: a regra é que a derivada de x^{2} é 2x e a derivada de uma constante k é 0. Logo a derivada pela esquerda é
(Explicando rápido: derivada dá a inclinação da tangente; para x^{2} a inclinação é 2x, então em x=1 é 2.)
Derivada da parte direita m x-1: é uma função linear cuja derivada é a sua inclinação m. Assim a derivada pela direita é
f'_+(1)=\left.\frac{d}{dx}(m x-1)\right|_{x=1}=m.
Igualando as derivadas laterais para diferenciabilidade:
2=m.
Passo 5
Encontrar k usando a relação de continuidade obtida no Passo 3.
Substituindo m=2 na relação k=m-2:
k=2-2=0.
Verificação rápida (para ter confiança): f(1)=1+k=1+0=1 e \lim_{x\to1^+}f(x)=m-1=2-1=1 (continuidade ok). As derivadas laterais são 2 (esquerda) e 2 (direita), iguais (diferenciabilidade ok). Tudo consistente.