Calcule os limites abaixo, apresentando de forma detalhada todas as etapas da resolução e indicando as propriedades ou teoremas utilizados. Não use a regra de L’Hospital.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5 x^{4}+x-3}{x^{3}+4 x^{2}+2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{5x^{4}+x-3}{x^{3}+4x^{2}+2}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma razão de polinômios: numerador 5x^{4}+x-3 e denominador x^{3}+4x^{2}+2.
  • A variável x tende para +\infty.
  • Não usar a regra de L’Hospital.

Passo 2

Ideia de método (explicada passo a passo): para limites com x\rightarrow\infty de razões de polinômios, convém analisar os termos de maior grau porque eles dominam o comportamento quando x fica grande. Uma forma prática e rigorosa é dividir numerador e denominador por uma potência de x. Aqui escolho dividir por x^{3} (o maior expoente que aparece no denominador), porque assim a expressão fica com um termo dominante facilmente identificável. Executando essa divisão obtemos:
\frac{5x^{4}+x-3}{x^{3}+4x^{2}+2} = \frac{\;x^{3}\left(5x + \dfrac{1}{x^{2}} - \dfrac{3}{x^{3}}\right)\;}{\;x^{3}\left(1 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{2}{x^{3}}\right)\;} = \frac{5x + \dfrac{1}{x^{2}} - \dfrac{3}{x^{3}}}{1 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{2}{x^{3}}}.

Passo 3

Analisar os termos que tendem a zero quando x\rightarrow\infty. Propriedade usada: para todo inteiro k>0,
\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x^{k}}=0.
Justificativa curta: para x>1 tem 0<\dfrac{1}{x^{k}}\le \dfrac{1}{x}, e como \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=0 segue que \dfrac{1}{x^{k}}\to0. Assim:
\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x^{2}}=0,\qquad \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x^{3}}=0,\qquad \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{4}{x}=0.

Passo 4

Aplicar esses resultados à expressão obtida no Passo 2. Escrevendo novamente:
\frac{5x + \dfrac{1}{x^{2}} - \dfrac{3}{x^{3}}}{1 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{2}{x^{3}}}.
O denominador tende para
\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{4}{x} + \frac{2}{x^{3}}\right)=1+0+0=1.
O numerador tem o termo dominante 5x mais termos que tendem a zero, portanto seu comportamento é dominado por 5x. Em particular, para x\ge 1 vale
5x + \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{3}} \ge 5x - 2,
pois \dfrac{1}{x^{2}}\ge 0 e -\dfrac{3}{x^{3}}\ge -3. Como \lim_{x\to\infty}(5x-2)=+\infty, segue por comparação que
\lim_{x\to\infty}\left(5x + \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{3}}\right)=+\infty.
(Usamos aqui a propriedade: se a(x)\to+\infty e b(x) é limitado, então a(x)+b(x)\to+\infty.)

Passo 5

Combinar os limites do numerador e do denominador. Temos numerador \to +\infty e denominador \to 1 (um número finito e positivo). Propriedade usada: se A(x)\to+\infty e B(x)\to c com c>0, então \dfrac{A(x)}{B(x)}\to+\infty. Aplicando isso:
\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{5x + \dfrac{1}{x^{2}} - \dfrac{3}{x^{3}}}{1 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{2}{x^{3}}}=+\infty.
Portanto o limite original é +\infty.

Passo 6

Comentário geral (para fixar a ideia): de forma mais direta e heurística, olhando apenas os maiores graus dos polinômios, o numerador é do tipo \sim 5x^{4} e o denominador é do tipo \sim x^{3}, então a razão comporta-se como \sim 5x quando x cresce, o que tende para +\infty. Isso coincide com a conclusão rigorosa acima.

Resposta

+\infty

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