Calcule os limites abaixo, apresentando de forma detalhada todas as etapas da resolução e indicando as propriedades ou teoremas utilizados. Não use a regra de L’Hospital.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é uma razão de polinômios: numerador
e denominador . - A variável
tende para . - Não usar a regra de L’Hospital.
Passo 2
Ideia de método (explicada passo a passo): para limites com
de razões de polinômios, convém analisar os termos de maior grau porque eles dominam o comportamento quando
fica grande. Uma forma prática e rigorosa é dividir numerador e denominador por uma potência de
. Aqui escolho dividir por
(o maior expoente que aparece no denominador), porque assim a expressão fica com um termo dominante facilmente identificável. Executando essa divisão obtemos:
Passo 3
Analisar os termos que tendem a zero quando
. Propriedade usada: para todo inteiro
,
Justificativa curta: para
tem
, e como
segue que
. Assim:
Passo 4
Aplicar esses resultados à expressão obtida no Passo 2. Escrevendo novamente:
O denominador tende para
O numerador tem o termo dominante
mais termos que tendem a zero, portanto seu comportamento é dominado por
. Em particular, para
vale
pois
e
. Como
, segue por comparação que
(Usamos aqui a propriedade: se
e
é limitado, então
.)
Passo 5
Combinar os limites do numerador e do denominador. Temos numerador
e denominador
(um número finito e positivo). Propriedade usada: se
e
com
, então
. Aplicando isso:
Portanto o limite original é
.
Passo 6
Comentário geral (para fixar a ideia): de forma mais direta e heurística, olhando apenas os maiores graus dos polinômios, o numerador é do tipo
e o denominador é do tipo
, então a razão comporta-se como
quando
cresce, o que tende para
. Isso coincide com a conclusão rigorosa acima.