- Considere a função
definida por
a) Ache a expansão em Taylor de
centrada na origem.
b) Calcule
e
. Obtenha em particular
e
.
b) Calcule
Passo 1
O enunciado dá a função
e faz duas coisas:
(a) Pede a expansão em série de Taylor de
centrada na origem (ou seja, a série de potências em torno de
).
(b) Pede para calcular
e
(as derivadas de ordem par e ímpar no ponto
), e em particular
e
.
Informações relevantes que o enunciado fornece e que iremos usar: a integranda
tem uma aparente singularidade em
, mas essa singularidade é removível porque a expansão de
começa por
; portanto a função integranda admite expansão em série de potências em torno de
e podemos integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro passo técnico: escrever a série de Taylor de
centrada em
. A série de Taylor de
é
Substituindo
obtemos
Explique o que isso significa: cada termo tem potência ímpar em
; o primeiro termo (quando
) é
, o que é importante porque no integrando temos
, que cancela esse primeiro termo.
Passo 3
Subtraindo
e dividindo por
:
O termo
da soma é
, que anula o
. Assim podemos reindexar a soma a partir de
. Para
cada termo é
Portanto a integranda tem a série de potências
Isso mostra explicitamente que a singularidade em
é removível: cada termo é uma potência não negativa de
(o menor expoente é
).
Passo 4
Agora integramos termo a termo de
a
. Justificação rápida (didática): se uma função possui uma expansão em série de potências que converge uniformemente num intervalo em torno de
, podemos integrar termo a termo; aqui a série é a de
ajustada e converge para todo
, logo a integração termo a termo é válida. Integrando cada termo
. Assim
Passo 5
Escrevendo a série de forma compacta, obtemos a expansão em Taylor centrada em
:
Aqui troquei o índice
por
(mesma coisa). Observações práticas para a prova: a série tem apenas potências pares de
(começando em
), o que implica que todos os coeficientes de potências ímpares são zero. Vamos escrever os primeiros termos para ficar mais concreto:
Como verificar rapidamente o primeiro coeficiente: para
,
Passo 6
Agora vamos relacionar os coeficientes da série com as derivadas em
. Regra básica (lembrando como usar na prova): se
então
No nosso caso só aparecem termos com
. Escrevendo
e
, obtemos as derivadas em
.
Passo 7
Cálculo das derivadas gerais:
Para derivadas de ordem par
(com
), usamos
Agora simplificamos o fator com o fatorial. Como
, temos
Portanto
Para derivadas de ordem ímpar
, como a série não tem termos em
, os coeficientes são zero e, logo,
Passo 8
Agora calculamos os casos pedidos explicitamente.
Para
: aqui
com
. Aplicando a fórmula
Para
: é derivada de ordem ímpar, portanto
Resposta
(a)
\n
(b) . Em particular,
.
(b)