1. Dada a função definida por
f(x)=\ln \left(x^{2}+6 x+8\right)
obtenha sua série de Taylor, centrada em x_{0}=0 e determine seu raio de convergência.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\ln\bigl(x^{2}+6x+8\bigr)
e pede duas coisas: (1) a série de Taylor de f centrada em x_{0}=0 e (2) o raio de convergência dessa série. As informações relevantes que temos explicitamente são: a expressão de f(x) e o ponto de expansão x_{0}=0. Nada mais será assumido sem justificativa.

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o polinômio dentro do logaritmo para simplificar. Fatorando x^{2}+6x+8 obtemos
x^{2}+6x+8=(x+2)(x+4).
Então, usando essa fatoração, podemos reescrever f como soma de logaritmos (quando os argumentos são positivos):
f(x)=\ln(x+2)+\ln(x+4).
Observação sobre domínio: a fatoração mostra que os zeros do argumento do logaritmo são x=-4 e x=-2, então f é definida em (-\infty,-4) e em (-2,\infty). Como o ponto de expansão é x_{0}=0, que pertence a (-2,\infty), podemos expandir em torno de 0 usando as expressões acima.

Passo 3

Vamos usar a propriedade básica do logaritmo: para a>0 e b>0,
\ln(ab)=\ln a+\ln b.
Aplicando isso e separando constantes multiplicativas, escrevemos cada termo como logaritmo de 1+ algo pequeno (isso é ótimo para série):
\ln(x+2)=\ln 2+\ln\!\left(1+\frac{x}{2}\right), \qquad \ln(x+4)=\ln 4+\ln\!\left(1+\frac{x}{4}\right).
Somando:
f(x)=\ln 2+\ln 4+\ln\!\left(1+\frac{x}{2}\right)+\ln\!\left(1+\frac{x}{4}\right).
Note que \ln 2+\ln 4=\ln 8, uma constante que faz parte do termo independente da série.

Passo 4

Agora precisamos da expansão de \ln(1+u) centrada em u=0. Vou derivar rapidamente (é útil para a prova): para |u|<1,
\frac{d}{du}\ln(1+u)=\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{n}.
Integrando termo a termo de 0 até u (e lembrando que \ln(1+0)=0), obtemos a série de Taylor (Maclaurin)
\ln(1+u)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{u^{n}}{n},\qquad\text{válida para }|u|<1.á
Aqui a fórmula significa que o coeficiente do termo u^{n} é (-1)^{n+1}/n.

Passo 5

Aplicamos essa fórmula com u=\dfrac{x}{2} e com u=\dfrac{x}{4}. Para cada expansão precisamos do critério |u|<1, ou seja:
\left|\frac{x}{2}\right|<1\implies |x|<2, \qquad \left|\frac{x}{4}\right|<1\implies |x|<4.
Como ambos os termos aparecem somados, a expansão combinada só será válida onde os dois convergeM simultaneamente, ou seja no intervalo
|x|<2.
Agora escrevemos as séries:
\ln\!\left(1+\frac{x}{2}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}\left(\frac{x}{2}\right)^{n},
\ln\!\left(1+\frac{x}{4}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}\left(\frac{x}{4}\right)^{n}.

Passo 6

Somando tudo (lembrando da constante \ln 8) temos a série de f centrada em 0:
f(x)=\ln 8+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}\left(\frac{x}{2}\right)^{n} +\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}\left(\frac{x}{4}\right)^{n}.
Podemos juntar as duas somas num único somatório:
f(x)=\ln 8+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{n}\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{4^{n}}\right).
Esse é um modo compacto e correto de escrever a série. Para ficar mais concreto, vou apresentar os primeiros termos explícitos (obtidos substituindo n=1,2,3,4):
f(x)=\ln 8+\frac{3}{4}x-\frac{5}{32}x^{2}+\frac{3}{64}x^{3}-\frac{17}{1024}x^{4}+\cdots
(Faça as contas: para n=1 o coeficiente é \dfrac{1}{1}\bigl(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}\bigr)=\tfrac{3}{4}; para n=2 é -\dfrac{1}{2}\bigl(\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{16}\bigr)=-\dfrac{5}{32}, etc.)

Passo 7

Determinar o raio de convergência. Já vimos heurísticas: cada série \ln(1+x/2) tem raio 2 e \ln(1+x/4) tem raio 4, logo a série resultante só pode convergir onde ambas convergem, ou seja em |x|<2. Portanto o raio de convergência é R=2.
Uma justificativa alternativa (mais formal) é observar os coeficientes combinados
a_{n}=(-1)^{n+1}\frac{1}{n}\Bigl(\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{4^{n}}\Bigr).
Para grandes n domina o termo 2^{-n}, de modo que
\limsup_{n\to\infty}|a_{n}|^{1/n}=\frac{1}{2},
e pelo teste da raiz o raio de convergência é R=1/(\limsup |a_{n}|^{1/n})=2. Isso confirma o resultado.

Resposta

f(x)=\ln 8+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{n}\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{4^{n}}\right)
\text{Raio de convergência: }R=2ê

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