obtenha sua série de Taylor, centrada em x_{0}=0 e determine seu raio de convergência.
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x)=\ln\bigl(x^{2}+6x+8\bigr)
e pede duas coisas: (1) a série de Taylor de f centrada em x_{0}=0 e (2) o raio de convergência dessa série. As informações relevantes que temos explicitamente são: a expressão de f(x) e o ponto de expansão x_{0}=0. Nada mais será assumido sem justificativa.
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar o polinômio dentro do logaritmo para simplificar. Fatorando x^{2}+6x+8 obtemos
x^{2}+6x+8=(x+2)(x+4).
Então, usando essa fatoração, podemos reescrever f como soma de logaritmos (quando os argumentos são positivos):
f(x)=\ln(x+2)+\ln(x+4).
Observação sobre domínio: a fatoração mostra que os zeros do argumento do logaritmo são x=-4 e x=-2, então f é definida em (-\infty,-4) e em (-2,\infty). Como o ponto de expansão é x_{0}=0, que pertence a (-2,\infty), podemos expandir em torno de 0 usando as expressões acima.
Passo 3
Vamos usar a propriedade básica do logaritmo: para a>0 e b>0,
\ln(ab)=\ln a+\ln b.
Aplicando isso e separando constantes multiplicativas, escrevemos cada termo como logaritmo de 1+ algo pequeno (isso é ótimo para série):
Esse é um modo compacto e correto de escrever a série. Para ficar mais concreto, vou apresentar os primeiros termos explícitos (obtidos substituindo n=1,2,3,4):
(Faça as contas: para n=1 o coeficiente é \dfrac{1}{1}\bigl(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}\bigr)=\tfrac{3}{4}; para n=2 é -\dfrac{1}{2}\bigl(\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{16}\bigr)=-\dfrac{5}{32}, etc.)
Passo 7
Determinar o raio de convergência. Já vimos heurísticas: cada série \ln(1+x/2) tem raio 2 e \ln(1+x/4) tem raio 4, logo a série resultante só pode convergir onde ambas convergem, ou seja em |x|<2. Portanto o raio de convergência é R=2.
Uma justificativa alternativa (mais formal) é observar os coeficientes combinados