Considere a função f(x)=x^2 e^(1-2 x) definida em R. Determine (se houver):
os intervalos de crescimento e decrescimento, e concavidades;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = x^{2} e^{(1-2x)} $ definida para todos os números reais. Nosso objetivo aqui é descobrir em quais intervalos essa função está crescendo ou decrescendo, e também analisar a concavidade dela. Para isso, vamos precisar usar derivadas: a primeira derivada para ver se a função está subindo ou descendo, e a segunda derivada para entender a concavidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $. A derivada nos ajuda a saber a taxa de variação da função, ou seja, se ela está aumentando ou diminuindo. A função que temos é um produto de duas funções: $ x^{2} $ e $ e^{(1-2x)} $. Quando temos um produto, usamos a regra do produto para derivar.
A regra do produto diz que se $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $, então $ f’(x) = u’(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v’(x) $.
Aplicando isso:
  • $ u(x) = x^{2} $ então $ u’(x) = 2x $
  • $ v(x) = e^{(1-2x)} $ então $ v’(x) = e^{(1-2x)} \cdot (-2) $ (usando a regra da cadeia)
Portanto:
f(x)

Passo 3

Agora que temos a primeira derivada, vamos analisar onde ela é positiva ou negativa para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
Fatorando $ f’(x) $:
f'(x)
Sabemos que $ e^{(1-2x)} $ é sempre positivo porque a função exponencial nunca é zero ou negativa. Então, o sinal de $ f’(x) $ depende de $ 2x (1 - x) $.
Vamos encontrar os pontos críticos onde $ f’(x) = 0 $:
f'(x) = 2x e^(1-2x) (1 - x)

Passo 4

Vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos críticos: $ x < 0 $, $ 0 < x < 1 $, e $ x > 1 $.
  • Para $ x < 0 $:
    • $ 2x $ é negativo.
    • $ 1 - x $ é positivo (porque $ x < 1 $).
    • Produto: negativo.
  • Para $ 0 < x < 1 $:
    • $ 2x $ é positivo.
    • $ 1 - x $ é positivo.
    • Produto: positivo.
  • Para $ x > 1 $:
    • $ 2x $ é positivo.
    • $ 1 - x $ é negativo.
    • Produto: negativo.

Passo 5

Com isso, podemos concluir:
  • Crescimento: Quando $ f’(x) > 0 $, ou seja, para $ 0 < x < 1 $.
  • Decrescimento: Quando $ f’(x) < 0 $, ou seja, para $ x < 0 $ e $ x > 1 $.

Passo 6

Agora, vamos determinar a concavidade da função usando a segunda derivada. A concavidade nos diz se a função está “sorrindo” ou “chorando”.
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada $ f’’(x) $. Já temos a primeira derivada:
f''(x)
Vamos derivar novamente usando a regra do produto:
f'(x) = e^(1-2x) (2x - 2x^2)
Calculando cada parte:
  • $ \frac{d}{dx} [e^{(1-2x)}] = -2 e^{(1-2x)} $
  • $ \frac{d}{dx} (2x - 2x^{2}) = 2 - 4x $
Então:
f''(x) = ddx [e^(1-2x)] cdot (2x - 2x^2) + e^(1-2x) cdot ddx (2x - 2x^2)
Simplificando:
ddx [e^(1-2x)] = -2 e^(1-2x)

Passo 7

Vamos analisar o sinal de $ f’’(x) $ para entender a concavidade. Novamente, $ e^{(1-2x)} $ é sempre positivo, então o sinal de $ f’’(x) $ depende de $ 4x^{2} - 8x + 2 $.
Vamos resolver a inequação $ 4x^{2} - 8x + 2 = 0 $ para encontrar possíveis pontos de inflexão:
Usando a fórmula de Bhaskara:
f''(x)
Então, os pontos críticos são $ x = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} $ e $ x = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Passo 8

Vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos:
  • Para $ x < 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} $:
    • $ 4x^{2} - 8x + 2 > 0 $
    • $ f’’(x) > 0 $ → Concavidade para cima.
  • Para $ 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} < x < 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} $:
    • $ 4x^{2} - 8x + 2 < 0 $
    • $ f’’(x) < 0 $ → Concavidade para baixo.
  • Para $ x > 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} $:
    • $ 4x^{2} - 8x + 2 > 0 $
    • $ f’’(x) > 0 $ → Concavidade para cima.

Resposta

A função $ f(x) = x^{2} e^{(1-2x)} $ cresce no intervalo $ (0, 1) $ e decresce nos intervalos $ (-\infty, 0) $ e $ (1, +\infty) $. Em relação à concavidade, ela é côncava para cima em $ (-\infty, 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) $ e $ (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty) $, e côncava para baixo em $ (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) $.

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