Considere a função
definida em
. Determine (se houver):
os valores de máximo e mínimo locais e absolutos, se houver;
os valores de máximo e mínimo locais e absolutos, se houver;
Passo 1
A questão pede para achar os extremos locais e absolutos da função
definida em
. Vamos usar cálculo de derivadas para obter os pontos críticos, depois estudar o sinal de
para classificar máximos e mínimos locais e, por fim, examinar os limites nos extremos do domínio para ver se há extremos globais.
Passo 2
Para encontrar os pontos críticos, calculamos a derivada de
. Derivando por produto e pela regra da cadeia, temos:
$$
f’(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x2\bigr),e{1-2x}+x2\frac{d}{dx}\bigl(e{1-2x}\bigr)=2x,e{1-2x}+x2,e^{1-2x}(-2).
f’(x)=2x,e^{1-2x}(1-x).
x=0\quade\quad x=1.
$$
Passo 3
Para classificar esses pontos, analisamos o sinal de
:
- Em
, escolha : logo , a função decresce. - Em
, escolha : logo , a função cresce. - Em
, escolha : logo , a função decresce.
Assim, emhá um mínimo local e em um máximo local. Os valores são
Passo 4
Para ver extremos absolutos, estudamos o comportamento de
quando
:
- Quando
, o termo decai muito mais rápido que cresce, então - Quando
, o termo explode (pois ) e também cresce, logo
Portanto, não há máximo absoluto (a função vai apara ) e o menor valor que atinge é em .
Resposta
Mínimo local e absoluto em x=0, com f(0)=0; máximo local em x=1, com f(1)=1/e; não existe máximo absoluto.