Considere a função f(x)=x^2 e^(1-2 x) definida em R. Determine (se houver):
os valores de máximo e mínimo locais e absolutos, se houver;

Passo 1

A questão pede para achar os extremos locais e absolutos da função f(x)=x^2e^1-2x definida em R. Vamos usar cálculo de derivadas para obter os pontos críticos, depois estudar o sinal de f' para classificar máximos e mínimos locais e, por fim, examinar os limites nos extremos do domínio para ver se há extremos globais.

Passo 2

Para encontrar os pontos críticos, calculamos a derivada de f. Derivando por produto e pela regra da cadeia, temos:
$$
f’(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x2\bigr),e{1-2x}+x2\frac{d}{dx}\bigl(e{1-2x}\bigr)=2x,e{1-2x}+x2,e^{1-2x}(-2). f'(x)=ddxl(x^2r),e^1-2x+x^2ddxl(e^1-2xr)=2x,e^1-2x+x^2,e^1-2x(-2)êá
f’(x)=2x,e^{1-2x}(1-x). f'(x)=2x,e^1-2x(1-x)í
x=0\quade\quad x=1.
$$

Passo 3

Para classificar esses pontos, analisamos o sinal de f'(x):
  • Em ( -infty,0), escolha x=-1: 2(-1)(1-(-1))<0 logo f'(-1)<0, a função decresce.
  • Em (0,1), escolha x=0.5: 2(0.5)(1-0.5)>0 logo f'(0.5)>0, a função cresce.
  • Em (1,infty), escolha x=2: 2cdot2,(1-2)<0 logo f'(2)<0, a função decresce.
    Assim, em x=0 há um mínimo local e em x=1 um máximo local. Os valores são
f(0)=0^2e^1=0,
f(1)=1^2e^1-2=e^-1=1e

Passo 4

Para ver extremos absolutos, estudamos o comportamento de f(x) quando xtopminfty:
  • Quando xto+infty, o termo e^-2x decai muito mais rápido que x^2 cresce, então f(x)to0^+
  • Quando xto-infty, o termo e^-2x explode (pois -2xto+infty) e x^2 também cresce, logo f(x)to+infty
    Portanto, não há máximo absoluto (a função vai a +infty para xto-infty) e o menor valor que f atinge é 0 em x=0.

Resposta

Mínimo local e absoluto em x=0, com f(0)=0; máximo local em x=1, com f(1)=1/e; não existe máximo absoluto.

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