Faça o gráfico de f(t) e calcule Lf(t).
f periódica de período p=4 e f(t)= 3 t, & se t in(0,2) 6, & se t in(2,4)

Passo 1

Temos uma função periódica de período p=4 definida por f(t)=3t para tin(0,2) e f(t)=6 para tin(2,4). O conteúdo aqui é Transformada de Laplace de funções periódicas, e vamos precisar usar a fórmula que envolve a integral de um período.

Passo 2

O gráfico de f(t) no intervalo [0,4] é uma rampa crescente de 0 até 6 em t=2, seguida de um trecho constante igual a 6 até t=4. Esse padrão se repete a cada período de comprimento 4.

Passo 3

Para funções periódicas de período T, a Transformada de Laplace é dada por
Lf(t) = 11 - e^-sT integral0^T e^-st f(t),dt
Aqui, T=4.

Passo 4

Vamos calcular a integral em um período:
I = integral0^4 e^-stf(t),dt = integral0^2 3t e^-st,dt + integral2^4 6e^-st,dt
Para a primeira integral, usamos integração por partes:
integral0^2 3t e^-st,dt = 3l[- t e^-sts - e^-sts^2r]0^2 = 3s^2 - e^-2sl(6s + 3s^2r)
Para a segunda,
integral2^4 6e^-st,dt = 6sl(e^-2s - e^-4sr)
Somando,
I = 3s^2 - e^-2sl(6s + 3s^2r) + 6sl(e^-2s - e^-4sr) = 3s^2l(1 - e^-2sr) - 6se^-4s

Passo 5

Substituindo na fórmula periódica e simplificando, obtemos
Lf(t) = I1 - e^-4s = 3l(1 - e^-2sr) - 6s,e^-4ss^2l(1 - e^-4sr)

Resposta

Lf(t) = 3l(1 - e^-2sr) - 6s,e^-4ss^2l(1 - e^-4sr)

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