Utilize a integral da transformada de Laplace para demonstrar que:
L2t(1-cos (omega t))=ln (s^2+omega^2s^2)

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que a Transformada de Laplace de f(t)=2tl(1-cos(omega t)r) satisfaz Lf(t)=lnl((s^2+omega^2)/s^2r). O conteúdo principal é usar a definição de Laplace e a técnica de diferenciar em relação a omega.

Passo 2

Escrevemos a transformada pela definição e, para simplificar, separamos um fator 2. Definimos
J(s,omega)=integral0^inftye^-st1-cos(omega t)t,dt,
pois então
Lf(t)=integral0^inftye^-st2tl(1-cos(omega t)r)dt=2,J(s,omega)

Passo 3

Vamos diferenciar J(s,omega) em relação a omega dentro da integral. Como a convergência é uniforme em omega, podemos trocar integral e derivada:
partial Jpartial omega=partialpartial omegaintegral0^inftye^-st1-cos(omega t)t,dt =integral0^inftye^-stpartialpartial omegal(1-cos(omega t)tr)dt =integral0^inftye^-stsin(omega t),dt

Passo 4

Usamos a Transformada de Laplace de sin(omega t), que é omega/(s^2+omega^2). Logo
partial Jpartial omega=omegas^2+omega^2

Passo 5

Agora integramos essa expressão em omega de 0 até omega. Como J(s,0)=0 (quando omega=0, o integrando anula), temos
J(s,omega)=integral0^omegaus^2+u^2du =12ln(s^2+u^2)|0^omega =12lnl(tfracs^2+omega^2s^2r)

Passo 6

Por fim, lembrando que a transformada pedida é 2J(s,omega), concluímos que
Ll2t(1-cos(omega t))r =2,J(s,omega) =lnl(s^2+omega^2s^2r)

Resposta

Ltfrac2t(1-cos(omega t))=lnl(tfracs^2+omega^2s^2r)

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