Utilize a integral da transformada de Laplace para demonstrar que:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar que a Transformada de Laplace de satisfaz . O conteúdo principal é usar a definição de Laplace e a técnica de diferenciar em relação a .
Passo 2
Escrevemos a transformada pela definição e, para simplificar, separamos um fator 2. Definimos
pois então
Passo 3
Vamos diferenciar em relação a dentro da integral. Como a convergência é uniforme em , podemos trocar integral e derivada:
Passo 4
Usamos a Transformada de Laplace de , que é . Logo
Passo 5
Agora integramos essa expressão em de 0 até . Como (quando , o integrando anula), temos
Passo 6
Por fim, lembrando que a transformada pedida é 2J(s,omega), concluímos que