Utilize a integral da transformada de Laplace para demonstrar que:
L2t(1-cosh (omega t))=ln (s^2-omega^2s^2)

Passo 1

Vamos provar que L2(1-cosh(omega t))/t=lnl((s^2-omega^2)/s^2). O conteúdo aqui é a transformada de Laplace via definição integral Lf(t)=integral0^infty e^-stf(t),dt, e usaremos também a integral conhecida integral0^inftye^-at-e^-bttdt=lnba.

Passo 2

Começamos usando a identidade cosh(omega t)=e^omega t+e^-omega t2. Assim
1-cosh(omega t)=2-e^omega t-e^-omega t2,
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2(1-cosh(omega t))t=2-e^omega t-e^-omega tt

Passo 3

Escrevendo a transformada pela definição:
Ll2(1-cosh(omega t))tr=integral0^infty e^-st2-e^omega t-e^-omega tt,dt=integral0^infty2e^-st-e^-(s-omega)t-e^-(s+omega)tt,dt

Passo 4

Reescrevemos o integrando como soma de diferenças:
2e^-st-e^-(s-omega)t-e^-(s+omega)t=-l[(e^-(s-omega)t-e^-st)+(e^-(s+omega)t-e^-st)r]

Passo 5

Então a transformada se divide em dois termos do tipo integral0^inftye^-at-e^-bttdt. Usando a fórmula com a=s-omega,,b=s e depois com a=s+omega,,b=s, obtemos
integral0^inftye^-(s-omega)t-e^-sttdt=lnss-omega,integral0^inftye^-(s+omega)t-e^-sttdt=lnss+omega

Passo 6

Substituindo e lembrando do sinal negativo resultante,
L= -l(lnss-omega+lnss+omegar)= -lns^2s^2-omega^2=lns^2-omega^2s^2

Resposta

lnl((s^2-omega^2)/s^2)

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