Considere a função f(x)=x, definida para 0<x<2. Encontre: (a) a extensão ímpar 4-periódica de f e a correspondente série de Fourier de senos da extensão; (b) a extensão par 4-periódica de f e a correspondente série de Fourier de co-senos.

Passo 1

O enunciado dá f(x)=x em 0<x<2 e pede duas extensões 4-periódicas:
  • (a) extensão ímpar, cujo desenvolvimento em série de Fourier só tem senos;
  • (b) extensão par, cujo desenvolvimento só tem cossenos.
    Para isso vamos usar as fórmulas de meia-faixa ( 0 a L com L=2):
se é ímpar: f(x)=sumn=1^infty bnsin!l(tfracnpi x2r), bn=2Lintegral0^L f(x),sin!l(tfracnpi xLr),dx; éí
se é par: f(x)=a02+sumn=1^infty ancos!l(tfracnpi x2r), an=2Lintegral0^L f(x),cos!l(tfracnpi xLr),dx é

Passo 2

(a) Extensão ímpar
e então repetimos com período (4]. A série só terá termos de seno.

Passo 3

Calculamos os coeficientes
bn =22integral0^2 xsin!l(tfracnpi x2r),dx =integral0^2 xsin!l(tfracnpi x2r),dx
Fazendo a=tfracnpi2:
integral0^2 xsin(ax),dx =l[-xcos(ax)a+sin(ax)a^2r]0^2 =-2cos(2a)a =-2(-1)^na =-4(-1)^nnpi
Logo
bn=-4(-1)^nnpi =4(-1)^n+1npi
Portanto a série ímpar é
boxed f(x)=sumn=1^infty 4(-1)^n+1npi, sin!l(tfracnpi x2r), período 4 í

Passo 4

(b) Extensão par
e repetimos com período (4]. A série só terá cossenos.

Passo 5

Calculamos
a0 =22integral0^2 x,dx =integral0^2 x,dx =l[tfracx^22r]0^2 =2,
portanto a0/2=1. Para n>=1,
an =22integral0^2 xcos!l(tfracnpi x2r),dx =integral0^2 xcos(ax),dx, a=tfracnpi2
Fazendo a primitivação:
integral0^2 xcos(ax),dx =l[xsin(ax)a+cos(ax)a^2r]0^2 =2sin(2a)a+cos(2a)-1a^2 =(-1)^n-1a^2 =(-1)^n-1(npi/2)^2 =4l((-1)^n-1r)n^2pi^2
Observe que para n par isso dá zero; para n ímpar dá -8/(n^2pi^2). Logo a série par é
boxed f(x) =1+sumn=1^infty 4l((-1)^n-1r)n^2pi^2 cos!l(tfracnpi x2r) =1-8pi^2sumk=0^inftycos!l(tfrac(2k+1)pi x2r)(2k+1)^2,
com período 4.

Resposta

(a) Extensão ímpar 4-periódica e série de senos:
f(x)=sumn=1^infty 4(-1)^n+1npi, sin!l(tfracnpi x2r)
(b) Extensão par 4-periódica e série de cossenos:
f(x) =1-8pi^2sumk=0^inftycos!l(tfrac(2k+1)pi x2r)(2k+1)^2

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