Considere a função
, definida para
. Encontre: (a) a extensão ímpar 4-periódica de
e a correspondente série de Fourier de senos da extensão; (b) a extensão par 4-periódica de
e a correspondente série de Fourier de co-senos.
Passo 1
O enunciado dá
em
e pede duas extensões
-periódicas:
- (a) extensão ímpar, cujo desenvolvimento em série de Fourier só tem senos;
- (b) extensão par, cujo desenvolvimento só tem cossenos.
Para isso vamos usar as fórmulas de meia-faixa (a com ):
Passo 2
(a) Extensão ímpar
e então repetimos com período (4]. A série só terá termos de seno.
Passo 3
Calculamos os coeficientes
Fazendo
:
Logo
Portanto a série ímpar é
Passo 4
(b) Extensão par
e repetimos com período (4]. A série só terá cossenos.
Passo 5
Calculamos
portanto
. Para
,
Fazendo a primitivação:
Observe que para
par isso dá zero; para
ímpar dá
. Logo a série par é
com período
.
Resposta
(a) Extensão ímpar
-periódica e série de senos:
(b) Extensão par
-periódica e série de cossenos: