Mostre que:
(0,2) se S subset R, S neq emptyset, é limitado inferiormente, então
inf S=sup x in R ; x é uma cota inferior para S é

Passo 1

O enunciado diz que SsubsetR, Sneqemptyset, é limitado inferiormente. Queremos mostrar que, se definirmos
A = ,xinRmid x é cota inferior de S, é
então
inf S ;=;sup A
O que usaremos é o axioma de completude: todo conjunto não vazio e limitado superiormente tem supremum.

Passo 2

Mostramos que Aneqemptyset e que A é limitado superiormente.
Como S é limitado inferiormente, existe minR tal que
m <= s para todo sin S
Isto significa que min A, logo Aneqemptyset. Por outro lado, dado qualquer sin S e qualquer ain A temos a<= s, de modo que s é cota superior de A. Assim A é limitado superiormente.

Passo 3

Pelo axioma de completude, existe
alpha = sup A
Vamos ver que alpha é cota inferior de S. De fato, para cada sin S, como s é cota superior de A, vale
alpha <= s
Isso mostra que alpha satisfaz alpha<= s para todo sin S, logo alphain A.

Passo 4

Agora, alpha=sup A implica que, para todo ain A,
a <= alpha
Isto significa que não há cota inferior de S maior que alpha. Em outras palavras, alpha é a maior cota inferior de S.

Passo 5

Pela definição de ínfimo como o maior de todos os cotas inferiores, concluímos
inf S = alpha = sup A

Resposta

inf S ;=;sup,xinRmid x é cota inferior de S é

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