Mostre que:
se
, é limitado inferiormente, então
Passo 1
O enunciado diz que
,
, é limitado inferiormente. Queremos mostrar que, se definirmos
então
O que usaremos é o axioma de completude: todo conjunto não vazio e limitado superiormente tem supremum.
Passo 2
Mostramos que
e que
é limitado superiormente.
Como é limitado inferiormente, existe
tal que
Como
Isto significa que
, logo
. Por outro lado, dado qualquer
e qualquer
temos
, de modo que
é cota superior de
. Assim
é limitado superiormente.
Passo 3
Pelo axioma de completude, existe
Vamos ver que
é cota inferior de
. De fato, para cada
, como
é cota superior de
, vale
Isso mostra que
satisfaz
para todo
, logo
.
Passo 4
Agora,
implica que, para todo
,
Isto significa que não há cota inferior de
maior que
. Em outras palavras,
é a maior cota inferior de
.
Passo 5
Pela definição de ínfimo como o maior de todos os cotas inferiores, concluímos