Considere a função f(x)=3-x, 0.
Determine e esboce o gráfico da sua extensão periódica ímpar (série de Fourier seno) h(x), de período 6, em 1 intervalo de 3 períodos. Mantenha em sua resposta apenas termos não nulos.

Passo 1

A questão pede para construir a extensão periódica ímpar de período 6 da função f(x)=3−x definida em (0,3) e traçar seu gráfico em um intervalo de 3 períodos. O conteúdo é Extensão Periódica Ímpar e Série de Fourier em Senos, e vamos precisar do coeficiente b_n da série de Fourier em senos com L=3.

Passo 2

Para obter os coeficientes b_n usamos a fórmula da série de Fourier ímpar em [0,L]:
bn=2Lintegral0^Lf(x)sinl(npi xLr),dx
Aqui L=3 e f(x)=3−x.

Passo 3

Calculamos
In=integral0^3(3-x)sinl(npi x3r)dx
Fazendo integração por partes (u=3−x, dv=sin(αx)dx com α=nπ/3) encontra-se
In=3α, α=nπ3
Logo
bn=23,In=23cdot3α=2α=6npi

Passo 4

Portanto a série de Fourier em senos (extensão ímpar) fica
$$h(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{6}{n\pi},\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{3}\Bigr).
$$
Todos os termos são não nulos.

Passo 5

O gráfico de h(x) é um dente-de-serra de período 6, com zeros em x=…,-6,-3,0,3,6,… e segmento linear entre cada zero: de (0,3) até (3,0), depois de (3,0) até (6,−3), repetindo-se ciclicamente. Há saltos em múltiplos de 3 (de +3 para −3) e simetria ímpar em torno da origem.

Resposta

h(x)=sumn=1^infty6npisinl(npi x3r)

Exercícios relacionados