Considere a função f(x)=3-x, 0.
Determine e esboce o gráfico da sua extensão periódica par (série de Fourier cosseno) g(x), de período 6 , em um intervalo de 3 períodos. Mantenha em sua resposta apenas termos não nulos.

Passo 1

Resumimos: temos f(x)=3−x definida em (0,3) e queremos sua extensão periódica par g(x) de período 6, representada por série de Fourier em cossenos. Vamos usar conceitos de extensão par, coeficientes a₀ e aₙ.

Passo 2

Construímos g(x) em [−3,3] pela reflexão par de f(x):
g(x)=3−x,&0<= x<=3,3+x,&−3<= x<0,
e então repetimos com período 6.

Passo 3

Calculamos o coeficiente a₀ com L=3:
a0=1Lintegral0^L f(x),dx=13integral0^3(3−x),dx=32

Passo 4

Para n≥1 usamos
an=2Lintegral0^L f(x)cosl(npi xLr)dx=23integral0^3(3−x)cosl(npi x3r)dx
Integramos por partes e obtemos
an=6n^2pi^2l(1−(−1)^nr)

Passo 5

Isso mostra que aₙ=0 para n par e, para n=2k−1 ímpar,
a2k−1=12(2k−1)^2pi^2

Passo 6

Logo a série de Fourier cosseno fica
$$g(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty a_{2k−1}\cos\Bigl(\frac{(2k−1)\pi x}{3}\Bigr)
=\frac34+\sum_{k=1}\infty\frac{12}{(2k−1)2\pi^2}\cos\Bigl(\frac{(2k−1)\pi x}{3}\Bigr).$$

Passo 7

O gráfico de g(x) é um “dente de serra” par e periódico de período 6: em cada intervalo [−3,3] ele sobe linearmente de (−3,0) a (0,3) e depois desce de (0,3) a (3,0), repetindo-se a cada 6 unidades.

Resposta

g(x)=34+sumk=1^infty12(2k−1)^2pi^2cosl((2k−1)pi x3r)

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