Considere a função
.
Determine e esboce o gráfico da sua extensão periódica par (série de Fourier cosseno)
, de período 6 , em um intervalo de 3 períodos. Mantenha em sua resposta apenas termos não nulos.
Determine e esboce o gráfico da sua extensão periódica par (série de Fourier cosseno)
Passo 1
Resumimos: temos f(x)=3−x definida em (0,3) e queremos sua extensão periódica par g(x) de período 6, representada por série de Fourier em cossenos. Vamos usar conceitos de extensão par, coeficientes a₀ e aₙ.
Passo 2
Construímos g(x) em [−3,3] pela reflexão par de f(x):
e então repetimos com período 6.
Passo 3
Calculamos o coeficiente a₀ com L=3:
Passo 4
Para n≥1 usamos
Integramos por partes e obtemos
Passo 5
Isso mostra que aₙ=0 para n par e, para n=2k−1 ímpar,
Passo 6
Logo a série de Fourier cosseno fica
$$g(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty a_{2k−1}\cos\Bigl(\frac{(2k−1)\pi x}{3}\Bigr)
=\frac34+\sum_{k=1}\infty\frac{12}{(2k−1)2\pi^2}\cos\Bigl(\frac{(2k−1)\pi x}{3}\Bigr).$$
Passo 7
O gráfico de g(x) é um “dente de serra” par e periódico de período 6: em cada intervalo [−3,3] ele sobe linearmente de (−3,0) a (0,3) e depois desce de (0,3) a (3,0), repetindo-se a cada 6 unidades.