Sabendo que sen(n pi x) ; n=1,2, ldots é um conjunto ortogonal completo neste intervalo, calcule os coeficientes cn tais que
sen(2 pi x)-sen(5 pi x)=sumn=1^infty cn sen(n pi x) ; 0

Passo 1

A questão pede para expandir a função f(x)=sin(2pi x)-sin(5pi x) na base ortogonal sin(npi x):n=1,2,dots em 0. O conteúdo aqui é Série de Fourier do tipo seno num intervalo finito, e vamos precisar da condição de ortogonalidade das funções seno e da fórmula de projeção para coeficientes em base ortogonal.

Passo 2

Em bases ortogonais não-normalizadas, o coeficiente cn de f(x) na função sin(npi x) é dado por projeção: first calculamos a integral do produto e depois dividimos pela norma ao quadrado. Ou seja,
cn=integral0^1f(x)sin(npi x),dxintegral0^1sin^2(npi x),dx

Passo 3

Sabendo que
integral0^1sin(mpi x)sin(npi x),dx=0,&mneq n,[4pt]tfrac12,&m=n,vamos aplicar para cada caso.

Passo 4

Para n=2: o numerador é
integral0^1(sin(2pi x)-sin(5pi x))sin(2pi x),dx=integral0^1sin^2(2pi x),dx-integral0^1sin(5pi x)sin(2pi x),dx=tfrac12-0=tfrac12,
e o denominador é
integral0^1sin^2(2pi x),dx=tfrac12Logo
c2=tfrac12tfrac12=1

Passo 5

Para n=5: o numerador é
integral0^1(sin(2pi x)-sin(5pi x))sin(5pi x),dx=0-tfrac12=-tfrac12,
e o denominador é
integral0^1sin^2(5pi x),dx=tfrac12Logo
c5=-tfrac12tfrac12=-1

Passo 6

Para qualquer outro nneq2,5, cada integral de sin(2pi x)sin(npi x) e de sin(5pi x)sin(npi x) vale zero, então
cn=0(nneq2,5)

Resposta

cn=1,&n=2,-1,&n=5,0,&caso contrárioá

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