Verifique que o conjunto de funções ; é ortogonal para no intervalo .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto de funções {, ; , } é ortogonal no intervalo . O conteúdo é ortogonalidade de funções e vamos precisar usar a definição de produto interno via integral e identidades trigonométricas.
Passo 2
Em ortogonalidade de funções, para duas funções e definidas em , dizemos que são ortogonais se
Passo 3
Vamos primeiro calcular para . Usamos a identidade
Assim
Passo 4
Cada integral de em é zero sempre que , pois é função par com período inteiro. O caso dá . Concluímos que
Passo 5
Agora fazemos integral-pi^pisin(mx),sin(nx),dx para m,n>=1. Usamos
sin(mx)sin(nx) = tfrac12l[cos((m-n)x) - cos((m+n)x)r],
e, pelo mesmo raciocínio, obtemos integral-pi^pisin(mx)sin(nx),dx = 0,&mneq n, pi,&m=n
Passo 6
Finalmente, para qualquer m>=0 e n>=1,
integral-pi^picos(mx)sin(nx),dx = 0,
pois a integral de um produto de função par por função ímpar em um intervalo simétrico é zero.
Passo 7
Vimos então que todas as integrais de produtos entre funções distintas do conjunto são zero, o que prova a ortogonalidade.
Como resposta final, afirmamos que o conjunto é ortogonal em (-pi,pi) pois todos os produtos internos de funções diferentes se anulam.
Resposta
O conjunto {cos(mx), sin(nx)} é ortogonal em (-pi,pi) porque para qualquer par de funções distintas do conjunto a integral do seu produto sobre [-pi,pi] é zero.