Verifique que o conjunto de funções cos (m x), sen(n x) ; m=0,1,2, ldots; n=1,2,3, ldots é ortogonal para x no intervalo (-pi,+pi).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto de funções { cos(mx), sin(nx); m=0,1,2,dots, n=1,2,3,dots} é ortogonal no intervalo (-pi,pi). O conteúdo é ortogonalidade de funções e vamos precisar usar a definição de produto interno via integral e identidades trigonométricas.

Passo 2

Em ortogonalidade de funções, para duas funções f e g definidas em (-pi,pi), dizemos que são ortogonais se
integral-pi^pi f(x),g(x),dx = 0

Passo 3

Vamos primeiro calcular integral-pi^picos(mx),cos(nx),dx para m,n>=0. Usamos a identidade
cos(mx)cos(nx) = tfrac12l[cos((m-n)x) + cos((m+n)x)r]
Assim
integral-pi^picos(mx)cos(nx),dx = tfrac12integral-pi^picos((m-n)x),dx + tfrac12integral-pi^picos((m+n)x),dx

Passo 4

Cada integral de cos(kx) em [-pi,pi] é zero sempre que kneq0, pois é função par com período inteiro. O caso k=0 integral-pi^pi1,dx=2pi. Concluímos que
integral-pi^picos(mx)cos(nx),dx = 0,&mneq n, pi,&m=nneq0, 2pi,&m=n=0

Passo 5

Agora fazemos integral-pi^pisin(mx),sin(nx),dx para m,n>=1. Usamos
sin(mx)sin(nx) = tfrac12l[cos((m-n)x) - cos((m+n)x)r],
e, pelo mesmo raciocínio, obtemos
integral-pi^pisin(mx)sin(nx),dx = 0,&mneq n, pi,&m=n

Passo 6

Finalmente, para qualquer m>=0 e n>=1,
integral-pi^picos(mx)sin(nx),dx = 0,
pois a integral de um produto de função par por função ímpar em um intervalo simétrico é zero.

Passo 7

Vimos então que todas as integrais de produtos entre funções distintas do conjunto são zero, o que prova a ortogonalidade.
Como resposta final, afirmamos que o conjunto é ortogonal em (-pi,pi) pois todos os produtos internos de funções diferentes se anulam.

Resposta

O conjunto { cos(mx), sin(nx)} é ortogonal em (-pi,pi) porque para qualquer par de funções distintas do conjunto a integral do seu produto sobre [-pi,pi] é zero.

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