Verifique que
é um conjunto ortogonal no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto de funções
é ortogonal no intervalo
. Estamos no contexto de espaços de funções com produto interno definido por
. Para verificar a ortogonalidade, basta provar que
sempre que
.
Passo 2
Usamos a identidade trigonométrica para produto de senos:
Nesse caso, com
e
, temos
Passo 3
Logo o produto interno é
Passo 4
Para
inteiro não nulo,
pois
. No nosso caso,
e
são inteiros não nulos sempre que
. Portanto cada integral é zero e
Resposta
Como o produto interno entre
e
se anula para
, o conjunto é ortogonal em
.