Verifique que sen(n pi x) ; n=1,2, ldots é um conjunto ortogonal no intervalo (0,1).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto de funções sin(npi x)mid n=1,2,dots é ortogonal no intervalo (0,1). Estamos no contexto de espaços de funções com produto interno definido por lang<= f,grang<==integral0^1f(x)g(x),dx. Para verificar a ortogonalidade, basta provar que lang<=sin(npi x),sin(mpi x)rang<==0 sempre que nneq m.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica para produto de senos:
sin(a),sin(b)=tfrac12l[cos(a-b)-cos(a+b)r]
Nesse caso, com a=npi x e b=mpi x, temos
sin(npi x)sin(mpi x)=tfrac12l[cosl((n-m)pi xr)-cosl((n+m)pi xr)r]

Passo 3

Logo o produto interno é
integral0^1sin(npi x)sin(mpi x),dx =tfrac12integral0^1cosl((n-m)pi xr),dx -tfrac12integral0^1cosl((n+m)pi xr),dx

Passo 4

Para k inteiro não nulo,
integral0^1cos(kpi x),dx =[1kpisin(kpi x)]0^1 =1kpil(sin(kpi)-sin(0)r)=0,
pois sin(kpi)=0. No nosso caso, k=n-m e k=n+m são inteiros não nulos sempre que nneq m. Portanto cada integral é zero e
integral0^1sin(npi x)sin(mpi x),dx=0( nneq m )

Resposta

Como o produto interno entre sin(npi x) e sin(mpi x) se anula para nneq m, o conjunto é ortogonal em (0,1).

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