Encontre o limite.

Passo 1

Estamos calculando limxto0^+l(3x+1x-1sin xr). O conteúdo é limite de expressão que, na forma original, dá um tipo infty-infty. Vamos usar expansão em série de Taylor de sin x para resolver.

Passo 2

Reescrevendo tfrac3x+1x=tfrac1x+3, a expressão vira
1x-1sin x+3
A parte problemática é 1x-1sin x, que é infty-infty.

Passo 3

Para lidar com 1x-1sin x, colocamos no mesmo denominador:
1x-1sin x= sin x - xx,sin x

Passo 4

Aplicamos a expansão de Taylor de sin x em torno de zero até a ordem x^3:
sin x = x - x^36 + o(x^3)
Logo:
sin x - x = -x^36+o(x^3), x,sin x = xl(x - x^36+o(x^3)r)=x^2 - x^46+o(x^4)

Passo 5

Substituindo na fração:
$$
\frac{\sin x - x}{x,\sin x}
\sim
\frac{-\frac{x3}{6}}{x2}

-\frac{x}{6},
sin x - xx,sin x sim -x^36x^2 = -x6,
\lim_{x\to0^+}\Bigl(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x}\Bigr)=0.
$$

Passo 6

Finalmente
limxto0^+l(3x+1x-1sin xr) =0+3 =3

Resposta

3

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