Encontre o limite.
Passo 1
Estamos calculando
. O conteúdo é limite de expressão que, na forma original, dá um tipo
. Vamos usar expansão em série de Taylor de
para resolver.
Passo 2
Reescrevendo
, a expressão vira
A parte problemática é
, que é
.
Passo 3
Para lidar com
, colocamos no mesmo denominador:
Passo 4
Aplicamos a expansão de Taylor de
em torno de zero até a ordem
:
Logo:
Passo 5
Substituindo na fração:
$$
\frac{\sin x - x}{x,\sin x}
\sim
\frac{-\frac{x3}{6}}{x2}
-\frac{x}{6},
\lim_{x\to0^+}\Bigl(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x}\Bigr)=0.
$$
Passo 6
Finalmente
Resposta
3