Considere a função f(x)=(x-1)^2.
(a) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (2,1);
(b) Esboce a região R limitada pelo gráfico de f, pelo eixo x e a reta tangente obtida no item (a) e calcule a área;
(c) Expresse o volume do sólido S gerado pela rotação de R em torno da reta x=0 por uma integral, utilizando o método das fatias ou das cascas cilíndricas. Não precisa calcular a integral.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=(x-1)^2 e pede:
(a) a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (2,1);
(b) o esboço e a área da região R limitada pelo gráfico de f, pelo eixo x e por essa reta;
(c) a expressão do volume do sólido S gerado ao girar R em torno da reta x=0, usando método de fatias ou cascas.

Passo 2

Para encontrar a reta tangente usamos que a derivada é
f'(x)=2(x-1)
No ponto x=2 temos f'(2)=2cdot(2-1)=2, e f(2)=(2-1)^2=1. Assim, a reta tangente em (2,1) satisfaz
y-1 = 2,(x-2),
isto é,
y = 2x - 3

Passo 3

A região R é fechada por três curvas:
— o arco da parábola y=(x-1)^2 de x=1 até x=2 (pois em x=1 temos y=0);
— a reta y=2x-3, que cruza o eixo x em x=tfrac32 e toca a parábola em x=2;
— o segmento do eixo x de x=1 a x=tfrac32.
Para calcular a área, integramos em x a diferença entre o limite superior yrm top=(x-1)^2 e o inferior, que é 0 em [1,,tfrac32] e 2x-3 em [tfrac32,,2].

Passo 4

Calculamos
Área = integral1^3/2 (x-1)^2,dx + integral3/2^2l[(x-1)^2 - (2x-3)r],dx Á
Note que
integral1^3/2(x-1)^2,dx =integral0^1/2u^2,du =(1/2)^33 =124,
e, usando v=x-2,
integral3/2^2l[(x-1)^2-(2x-3)r]dx =integral-1/2^0v^2,dv =124
Logo
Área(R)=124+124=112 Á

Passo 5

Para o volume ao girar R em torno de x=0, usamos o método das cascas cilíndricas. A uma abscissa x a casca tem raio x e altura igual à diferença entre a curva superior (x-1)^2 e a inferior, que é 0 para 1<= x<=tfrac32 e 2x-3 para tfrac32<= x<=2. Assim,
V =2piintegral1^3/2x,(x-1)^2,dx +2piintegral3/2^2xl[(x-1)^2-(2x-3)r]dx
Não é preciso avaliar esses integrais; essa é a expressão pedida.

Resposta

(a) y=2x-3
(b) Área(R)=tfrac112Á
(c) V=2piintegral1^3/2x,(x-1)^2,dx ;+;2piintegral3/2^2xl[(x-1)^2-(2x-3)r]dx

Exercícios relacionados