Considere a função
.
(a) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
;
(b) Esboce a região
limitada pelo gráfico de
, pelo eixo
e a reta tangente obtida no item (a) e calcule a área;
(c) Expresse o volume do sólido
gerado pela rotação de
em torno da reta
por uma integral, utilizando o método das fatias ou das cascas cilíndricas. Não precisa calcular a integral.
(a) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de
(b) Esboce a região
(c) Expresse o volume do sólido
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
(a) a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto
;
(b) o esboço e a área da região limitada pelo gráfico de
, pelo eixo
e por essa reta;
(c) a expressão do volume do sólido gerado ao girar
em torno da reta
, usando método de fatias ou cascas.
(a) a equação da reta tangente ao gráfico de
(b) o esboço e a área da região
(c) a expressão do volume do sólido
Passo 2
Para encontrar a reta tangente usamos que a derivada é
No ponto
temos
, e
. Assim, a reta tangente em
satisfaz
isto é,
Passo 3
A região
é fechada por três curvas:
— o arco da parábola de
até
(pois em
temos
);
— a reta , que cruza o eixo
em
e toca a parábola em
;
— o segmento do eixo de
a
.
— o arco da parábola
— a reta
— o segmento do eixo
Para calcular a área, integramos em
a diferença entre o limite superior
e o inferior, que é
em
e
em
.
Passo 4
Calculamos
Note que
e, usando
,
Logo
Passo 5
Para o volume ao girar
em torno de
, usamos o método das cascas cilíndricas. A uma abscissa
a casca tem raio
e altura igual à diferença entre a curva superior
e a inferior, que é
para
e
para
. Assim,
Não é preciso avaliar esses integrais; essa é a expressão pedida.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)