5.4K Cada edo dada abaixo tem coeficientes homogêneos. Encontre a solução geral em cada caso:
(x^2-y^2) d x+2 x y d y=0

Passo 1

O enunciado é a equação diferencial
l(x^2-y^2r),dx + 2,x,y,dy = 0
cuja propriedade é que os coeficientes de dx e dy são funções homogêneas de grau 2. Para resolver, vamos usar a substituição padrão para EDOs homogêneas:
y = v,x,logo v = yx

Passo 2

Primeiro isolamos tfracdydx. Dividindo a equação por dx e por x^2 (para simplificar), temos
1 - y^2x^2 + 2,yx,dydx = 0 Longrightarrow 2,yx,dydx = y^2x^2 - 1
e então
dydx = y^2x^2 - 12,yx = y^2-x^22,x,y,

Passo 3

Fazendo y = v,x implica
dydx = v + x,dvdx
Substituindo em dydx = y^2-x^22xy, obtemos
v + xdvdx = (v,x)^2-x^22,x,(v,x) = v^2-12,v
Reorganizando,
xdvdx = v^2-12,v - v = -,v^2+12,v

Passo 4

Separamos as variáveis v e x:
2,vv^2+1,dv = -,dxx
Integramos ambos os lados:
integral 2,vv^2+1,dv = integral -dxx Longrightarrow lnl(v^2+1r) = -lnlvert xrvert + C
Exponentiando,
v^2+1 = Kx, K = e^C

Passo 5

Voltando a v = yx,
y^2x^2 + 1 = Kx Longrightarrow y^2 + x^2 = K,x
Renomeando a constante Kto C, essa é a forma implícita da solução geral.

Resposta

x^2 + y^2 = C,x,
onde C é constante arbitrária.

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