Exercício 13. Lembra que a Desigualdade de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev afirma que, para e , tem-se
onde . No entanto, o resultado deixa de ser verdade no caso limite , como pedimos para justificar no item (i) abaixo. O espaço das funções de oscilação média limitada (OML) é um possível substituto neste caso. Nós dizemos que uma função tem oscilação média limitada, e escrevemos , quando
(i) Encontre tal que .
(ii) Mostre que, se , então com a estimativa
Passo 1
O enunciado recorda que, para , vale a desigualdade de Gagliardo– Nirenberg– Sobolev
mas isso falha quando . Introduz– se então o espaço OML (oscila\c{c}~ao m’edia limitada) com seminorma
Precisamos mostrar:
(i) existe uin W^1,d(R^d) que n~ao est’a em L^infty(R^d);
(ii) todo uin W^1,d(R^d) satisfaz [u]OML<= C|nabla u|L^d.