Exercício 13. Lembra que a Desigualdade de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev afirma que, para p in[1, d) e u in W^1, p(R^d), tem-se
|u|L^p^*(Omega) <= c|nabla u|L^p(Omega),
onde p^*:=p d(p-d)^-1. No entanto, o resultado deixa de ser verdade no caso limite p=d, como pedimos para justificar no item (i) abaixo. O espaço das funções de oscilação média limitada (OML) é um possível substituto neste caso. Nós dizemos que uma função u in L loc ^1(R^d) tem oscilação média limitada, e escrevemos u in OML(R^d), quando
[u]OML(R^d):=sup Br(x) subset R^dfBr(x)|u(y)-(u)x, r| d y<+infty
(i) Encontre u in W^1, d(R^d) tal que u notin L^infty(R^d).
(ii) Mostre que, se u in W^1, d(R^d), então u in OML(R^d) com a estimativa
[u]OML(R^d) <= c|nabla u|L^d(R^d)

Passo 1

O enunciado recorda que, para p<d, vale a desigualdade de Gagliardo– Nirenberg– Sobolev
|u|L^p^*(R^d)<= c|nabla u|L^p(R^d),
mas isso falha quando p=d. Introduz– se então o espaço OML (oscila\c{c}~ao m’edia limitada) com seminorma
[u]OML=supBr(x)subsetR^d1|Br(x)|integralBr(x)l|u(y)-(u)x,rr|,dy<+infty
Precisamos mostrar:
(i) existe uin W^1,d(R^d) que n~ao est’a em L^infty(R^d);
(ii) todo uin W^1,d(R^d) satisfaz [u]OML<= C|nabla u|L^d.

Passo 2

Construção do exemplo para (i). Defina
u(x)= log!l(log!tfrace|x|r),&0<|x|<tfrac1e, 0,&|x|>=tfrac1e
Claramente limxto0u(x)=+infty, logo unotin L^infty(R^d).

Passo 3

Verificação de uin W^1,d. Para 0<r=|x|<1/e temos
u(r)=logl(log(e/r)r), u'(r)=-1r,log(e/r),
de modo que, em coordenadas polares,
integralR^d|nabla u|^d =omegad-1integral0^1/e r^d-1l(1r,log(e/r)r)^d,dr =omegad-1integral1^inftyt^-d,dt<infty
Aqui fizemos a mudança t=log(e/r). Assim nabla uin L^d e uin W^1,d(R^d), concluindo (i).

Passo 4

Prova de (ii) via desigualdade de Poincar’e– Wirtinger e H"older. Em qualquer bola Br(x) existe constante C tal que
integralBr(x)l|u(y)-(u)x,rr|,dy <= C,rintegralBr(x)|nabla u(y)|,dy
Dividindo por |Br(x)| e aplicando H"older em Br(x),
1|Br|integralBrl|u-(u)x,rr| <= C,r|Br|,|nabla u|L^d(Br),|Br|^d-1d = C,|nabla u|L^d(Br)
Fazendo supremo em todas as bolas, obtemos
[u]OML<= C,|nabla u|L^d(R^d),
como desejado.

Resposta

(i) Por exemplo
u(x)= logl(log(e/|x|)r),&0<|x|<1/e, 0,&|x|>=1/e,
satisfaz uin W^1,d(R^d) e unotin L^infty(R^d).
(ii) Em toda bola Br(x) vale
1|Br(x)|integralBr(x)l|u-(u)x,rr|<= C,|nabla u|L^d(R^d),
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[u]OML<= C,|nabla u|L^d(R^d)

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