1. (a) Mostre que a função f(x)=4 x^5+3 x^3+3 x-2 possui exatamente uma raiz real.
    (b) Ache uma aproximação para senh( 0,002 ).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Na parte (a) precisamos mostrar que a função
f(x)=4x^5+3x^3+3x-2
tem exatamente uma raiz real; na parte (b) devemos achar uma aproximação para sinh(0,002). Para (a) vamos usar derivada e teorema do valor intermediário, e para (b) a expansão em série de Taylor de sinh(x).

Passo 2

Para (a), calculamos a derivada de f:
f'(x)=ddxl(4x^5+3x^3+3x-2r) =20x^4+9x^2+3
Como x^4>=0 e x^2>=0 para todo x, cada termo em 20x^4, 9x^2 e 3 é não-negativo, e 3>0. Logo
f'(x)>0para todo xinR,
isto é, f é estritamente crescente.

Passo 3

Uma função estritamente crescente só pode ter no máximo uma raiz real. Para garantir que ela tem exatamente uma, basta ver que há troca de sinal:
f(0)=4cdot0+3cdot0+3cdot0-2=-2<0,
f(1)=4+3+3-2=8>0
Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe xiin(0,1) tal que f(xi)=0. Como é estritamente crescente, não pode haver outra raiz. Concluímos que há exatamente uma raiz real.

Passo 4

Para (b), lembramos que a definição de função hiperbólica sinh(x) e sua expansão de Taylor em torno de zero são
sinh(x)=e^x-e^-x2 e sinh(x)=x+x^33!+x^55!+cdots
Como 0,002 é muito pequeno, os termos de ordem x^5 em diante são desprezíveis para boa precisão.

Passo 5

Substituindo x=0,002:
x=0,002, x^3=(0,002)^3=8times10^-9,
x^33!=8times10^-96=1,3333times10^-9,
e o próximo termo é
x^55!approx(0,002)^5120=32times10^-15120 approx2,7times10^-16,
que é irrelevante na 9ª casa decimal. Logo
sinh(0,002)approx0,002+1,3333times10^-9 =0,0020000013333ldots

Resposta

(a) A derivada f'(x)=20x^4+9x^2+3 é sempre positiva, logo f é estritamente crescente, troca de sinal entre x=0 e x=1 garante uma única raiz real.
(b) sinh(0,002)approx0,0020000013333.

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