- (a) Mostre que a função
possui exatamente uma raiz real.
(b) Ache uma aproximação para senh( 0,002 ).
(b) Ache uma aproximação para senh( 0,002 ).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Na parte (a) precisamos mostrar que a função
tem exatamente uma raiz real; na parte (b) devemos achar uma aproximação para
. Para (a) vamos usar derivada e teorema do valor intermediário, e para (b) a expansão em série de Taylor de
.
Passo 2
Para (a), calculamos a derivada de
:
Como
e
para todo
, cada termo em
,
e
é não-negativo, e
. Logo
isto é,
é estritamente crescente.
Passo 3
Uma função estritamente crescente só pode ter no máximo uma raiz real. Para garantir que ela tem exatamente uma, basta ver que há troca de sinal:
Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe
tal que
. Como é estritamente crescente, não pode haver outra raiz. Concluímos que há exatamente uma raiz real.
Passo 4
Para (b), lembramos que a definição de função hiperbólica
e sua expansão de Taylor em torno de zero são
Como
é muito pequeno, os termos de ordem
em diante são desprezíveis para boa precisão.
Passo 5
Substituindo
:
e o próximo termo é
que é irrelevante na 9ª casa decimal. Logo
Resposta
(a) A derivada
é sempre positiva, logo
é estritamente crescente, troca de sinal entre
e
garante uma única raiz real.
(b) .
(b)