Para cada função f(x) dada abaixo:
  • Determine o domínio de f(x);
  • Utilize a definição de derivada para obter a função f^{\prime}(x);
    (b) f(t)=\frac{t+1}{t+4}

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(t)=\frac{t+1}{t+4},
que a gente encontre o domínio de f e, em seguida, use a definição de derivada (limite do quociente incremental) para achar f'(t).

Passo 2

Para achar o domínio, observamos que o denominador não pode ser zero. Logo, impomos
t+4\neq 0,
ou seja, t\neq -4. Portanto, o domínio de f é
(-\infty,-4)\,\cup\,(-4,\infty).

Passo 3

Pela definição de derivada, temos
f'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{\displaystyle\frac{t+h+1}{t+h+4}-\displaystyle\frac{t+1}{t+4}}{h}.
Vamos combinar as frações no numerador:
\frac{t+h+1}{t+h+4}-\frac{t+1}{t+4} =\frac{(t+h+1)(t+4)-(t+1)(t+h+4)}{(t+h+4)(t+4)}.
Calculando o numerador:
(t+h+1)(t+4)=(t^2+t(h+5)+4h+4), \quad (t+1)(t+h+4)=(t^2+t(h+5)+h+4),
portanto a diferença é
(t^2+\dots+4h+4)-(t^2+\dots+h+4)=3h.
Assim o quociente incremental fica
\frac{3h}{h\,(t+4)(t+h+4)} =\frac{3}{(t+4)(t+h+4)},
e, ao fazermos h\to0, obtemos
f'(t)=\frac{3}{(t+4)^2}.

Resposta

Domínio de f: (-\infty,-4)\cup(-4,\infty)
Derivada: \displaystyle f'(t)=\frac{3}{(t+4)^2}.

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