Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos d sela, se houver.
Passo 1
O enunciado pede: localizar todos os máximos relativos, mínimos relativos e pontos de sela da função
Informações dadas e hipóteses úteis:
- O domínio é todo o plano
(a função é suave em toda parte). - Queremos encontrar pontos críticos (onde o gradiente é nulo ou não existe) e, em seguida, classificar esses pontos como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Passo 2
Lembrete (definição e estratégia):
- Um ponto
é ponto crítico se as derivadas parciais primeiras existem e satisfazem
ou se alguma dessas derivadas não existir. Aqui as derivadas existem em toda parte, então buscamos onde as duas parciais primeiras são zero simultaneamente.
- Cálculo das derivadas parciais: explicando a ideia antes de calcular — a derivada parcial em relação a
trata como constante; em relação a trata como constante.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais:
porque
é tratada como constante ao derivar em
e
.
porque
é constante ao derivar em
e
.
Passo 4
Impor as condições de ponto crítico:
Observação importante: para todo
vale
. Assim as igualdades acima só podem ocorrer se simultaneamente
Mas não existe
com
e
ao mesmo tempo (seno e cosseno não se anulam simultaneamente). Portanto não há solução para o sistema; ou seja, o gradiente
não se anula em nenhum ponto de
. Conclusão: não existem pontos críticos (nenhum ponto com gradiente nulo).
Passo 5
O que isso implica sobre máximos, mínimos e pontos de sela?
- Em cálculo de funções de várias variáveis, máximos e mínimos relativos (no interior do domínio) só podem ocorrer em pontos críticos (ou na fronteira do domínio). Aqui o domínio é todo
sem fronteira, e não há pontos críticos. Logo não existem máximos relativos nem mínimos relativos. - Para classificar pontos críticos costuma-se usar a matriz Hessiana (teste da segunda derivada). Mesmo não sendo estritamente necessário para concluir que não há extremos, vale calcular a Hessiana para entender o comportamento local:
- Segundas derivadas:
- Matriz Hessiana e seu determinante:
- Interpretação:
para todo . Se existisse um ponto crítico, esse sinal negativo indicaria que esse ponto seria um ponto de sela (pois a Hessiana teria autovalores de sinais opostos). Contudo, como não há pontos críticos, não há pontos de sela no sentido clássico (pontos de sela são normalmente definidos entre os pontos críticos).]
Passo 6
Observações adicionais e comportamento global (útil para entendimento):
- A função é ilimitada: escolhendo
temos e que tende a quando . Escolhendo temos e que tende a quando . Logo não existem extremos globais nem limites que forcem máximos/minimos. - Comentário sobre o termo “ponto de sela”: alguns autores exigem que um ponto de sela seja também um ponto crítico; outros usam uma definição topológica (em qualquer vizinhança existem valores maiores e menores que o valor no ponto). Neste problema, pelo critério clássico de pontos críticos, não há pontos de sela, pois não há pontos onde
. Entretanto, pela definição topológica, em qualquer ponto existe variação local em direção a valores maiores e menores (por exemplo, variando a função aumenta e diminui dependendo do sinal de ), de modo que a função não apresenta locais de máximo/minimo isolados.
Resposta
Não existem pontos críticos; portanto não há máximos relativos, nem mínimos relativos, nem pontos de sela (no sentido de pontos críticos).