Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos d sela, se houver.
f(x, y)=e^{x} \operatorname{sen} y

Passo 1

O enunciado pede: localizar todos os máximos relativos, mínimos relativos e pontos de sela da função
f(x,y)=e^{x}\operatorname{sen}y.
Informações dadas e hipóteses úteis:
  • O domínio é todo o plano \mathbb{R}^2 (a função é suave em toda parte).
  • Queremos encontrar pontos críticos (onde o gradiente é nulo ou não existe) e, em seguida, classificar esses pontos como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.

Passo 2

Lembrete (definição e estratégia):
  • Um ponto (x_0,y_0) é ponto crítico se as derivadas parciais primeiras existem e satisfazem
\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=0\quad\text{e}\quad\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=0,
ou se alguma dessas derivadas não existir. Aqui as derivadas existem em toda parte, então buscamos onde as duas parciais primeiras são zero simultaneamente.
  • Cálculo das derivadas parciais: explicando a ideia antes de calcular — a derivada parcial em relação a x trata y como constante; em relação a y trata x como constante.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{x}\operatorname{sen}y\big)=e^{x}\operatorname{sen}y,
porque \operatorname{sen}y é tratada como constante ao derivar em x e \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x}\operatorname{sen}y\big)=e^{x}\cos y,
porque e^{x} é constante ao derivar em y e \frac{d}{dy}\operatorname{sen}y=\cos y.

Passo 4

Impor as condições de ponto crítico:
e^{x}\operatorname{sen}y=0,\qquad e^{x}\cos y=0.
Observação importante: para todo x\in\mathbb{R} vale e^{x}>0. Assim as igualdades acima só podem ocorrer se simultaneamente
\operatorname{sen}y=0\quad\text{e}\quad\cos y=0.
Mas não existe y com \operatorname{sen}y=0 e \cos y=0 ao mesmo tempo (seno e cosseno não se anulam simultaneamente). Portanto não há solução para o sistema; ou seja, o gradiente
\nabla f(x,y)=\big(e^{x}\operatorname{sen}y,\;e^{x}\cos y\big)
não se anula em nenhum ponto de \mathbb{R}^2. Conclusão: não existem pontos críticos (nenhum ponto com gradiente nulo).

Passo 5

O que isso implica sobre máximos, mínimos e pontos de sela?
  • Em cálculo de funções de várias variáveis, máximos e mínimos relativos (no interior do domínio) só podem ocorrer em pontos críticos (ou na fronteira do domínio). Aqui o domínio é todo \mathbb{R}^2 sem fronteira, e não há pontos críticos. Logo não existem máximos relativos nem mínimos relativos.
  • Para classificar pontos críticos costuma-se usar a matriz Hessiana (teste da segunda derivada). Mesmo não sendo estritamente necessário para concluir que não há extremos, vale calcular a Hessiana para entender o comportamento local:
    • Segundas derivadas:
    \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=e^{x}\operatorname{sen}y,\qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=e^{x}\cos y,\qquad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=-e^{x}\operatorname{sen}y.
    • Matriz Hessiana e seu determinante:
    H(x,y)=\begin{pmatrix}e^{x}\operatorname{sen}y & e^{x}\cos y\\[4pt] e^{x}\cos y & -e^{x}\operatorname{sen}y\end{pmatrix},
\det H(x,y)=\big(e^{x}\operatorname{sen}y\big)\big(-e^{x}\operatorname{sen}y\big)-\big(e^{x}\cos y\big)^{2}=-e^{2x}\big(\operatorname{sen}^{2}y+\cos^{2}y\big)=-e^{2x}<0.
  • Interpretação: \det H(x,y)<0 para todo (x,y). Se existisse um ponto crítico, esse sinal negativo indicaria que esse ponto seria um ponto de sela (pois a Hessiana teria autovalores de sinais opostos). Contudo, como não há pontos críticos, não há pontos de sela no sentido clássico (pontos de sela são normalmente definidos entre os pontos críticos).]

Passo 6

Observações adicionais e comportamento global (útil para entendimento):
  • A função é ilimitada: escolhendo y=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi temos \operatorname{sen}y=1 e f(x,y)=e^{x} que tende a +\infty quando x\to+\infty. Escolhendo y=-\tfrac{\pi}{2}+2k\pi temos \operatorname{sen}y=-1 e f(x,y)=-e^{x} que tende a -\infty quando x\to+\infty. Logo não existem extremos globais nem limites que forcem máximos/minimos.
  • Comentário sobre o termo “ponto de sela”: alguns autores exigem que um ponto de sela seja também um ponto crítico; outros usam uma definição topológica (em qualquer vizinhança existem valores maiores e menores que o valor no ponto). Neste problema, pelo critério clássico de pontos críticos, não há pontos de sela, pois não há pontos onde \nabla f=0. Entretanto, pela definição topológica, em qualquer ponto (x_0,y_0) existe variação local em direção a valores maiores e menores (por exemplo, variando x a função aumenta e diminui dependendo do sinal de \operatorname{sen}y_0), de modo que a função não apresenta locais de máximo/minimo isolados.

Resposta

Não existem pontos críticos; portanto não há máximos relativos, nem mínimos relativos, nem pontos de sela (no sentido de pontos críticos).

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