Calcule a derivada da função:
pontos)
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas/observações imediatamente úteis:
- A função é dada por um quociente entre duas expressões polinomiais.
- O denominador
zera quando . Logo a função (e sua derivada) não estão definidas em .
Nada mais é pedido além de obter.
Passo 2
Escolha do método: usar a regra do quociente. Motivo: a função já está escrita como quociente
com
e
polinômios simples, então a regra do quociente dá uma forma direta e econômica para a derivada.
Vou lembrar e explicar a regra do quociente de forma clara:
- Se
e são funções diferenciáveis e , então
- O que isso significa intuitivamente: a variação do quociente depende da variação do numerador e do denominador; o denominador aparece ao quadrado porque peque-mos a sensibilidade relativa à divisão.
Também vou usar a regra da potência (derivada de): se , então . Isso é o suficiente para derivar os polinômios que aparecem.
Passo 3
Identifico as partes do quociente:
Agora calculo
e
usando a regra da potência e a linearidade da derivada:
- Para
: a derivada de é e a derivada de constante é . Logo
- Para
: a derivada de é e de é . Logo
Passo 4
Agora aplico a regra do quociente substituindo
:
Essa é a forma direta obtida pela regra; a próxima etapa é simplificar o numerador passo a passo.
Passo 5
Expando os produtos no numerador, mostrando cada termo:
Subtraindo segundo o numerador da regra do quociente:
Passo 6
Combino termos semelhantes no numerador e fatoro para simplificar:
Agrupando:
Fator comum
(mostrando a divisão termo a termo):
Passo 7
Resumo das peças que restaram:
- Numerador simplificado e fatorado:
. - Denominador da regra do quociente:
.
A derivadaé a fração formada por esse numerador sobre esse denominador (lembrando que porque o denominador original zera nesses pontos).