Calcule a derivada da função:
\left(0,75\right. pontos) g(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{4}-16}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
g(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{4}-16}.
Informações dadas/observações imediatamente úteis:
  • A função é dada por um quociente entre duas expressões polinomiais.
  • O denominador x^{4}-16 zera quando x=\pm2. Logo a função (e sua derivada) não estão definidas em x=\pm2.
    Nada mais é pedido além de obter g'(x).

Passo 2

Escolha do método: usar a regra do quociente. Motivo: a função já está escrita como quociente u(x)/v(x) com u e v polinômios simples, então a regra do quociente dá uma forma direta e econômica para a derivada.
Vou lembrar e explicar a regra do quociente de forma clara:
  • Se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis e g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, então
g'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.
  • O que isso significa intuitivamente: a variação do quociente depende da variação do numerador e do denominador; o denominador aparece ao quadrado porque peque-mos a sensibilidade relativa à divisão.
    Também vou usar a regra da potência (derivada de x^{n}): se h(x)=x^{n}, então h'(x)=n x^{n-1}. Isso é o suficiente para derivar os polinômios que aparecem.

Passo 3

Identifico as partes do quociente:
u(x)=x^{2}+1,\qquad v(x)=x^{4}-16.
Agora calculo u'(x) e v'(x) usando a regra da potência e a linearidade da derivada:
  • Para u(x)=x^{2}+1: a derivada de x^{2} é 2x e a derivada de constante 1 é 0. Logo
u'(x)=2x.
  • Para v(x)=x^{4}-16: a derivada de x^{4} é 4x^{3} e de -16 é 0. Logo
v'(x)=4x^{3}.

Passo 4

Agora aplico a regra do quociente substituindo u,u',v,v':
g'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}} =\frac{(2x)\,(x^{4}-16)-(x^{2}+1)\,(4x^{3})}{\bigl(x^{4}-16\bigr)^{2}}.
Essa é a forma direta obtida pela regra; a próxima etapa é simplificar o numerador passo a passo.

Passo 5

Expando os produtos no numerador, mostrando cada termo:
(2x)\,(x^{4}-16)=2x\cdot x^{4}-2x\cdot16=2x^{5}-32x,
(x^{2}+1)\,(4x^{3})=4x^{3}\cdot x^{2}+4x^{3}\cdot 1=4x^{5}+4x^{3}.
Subtraindo segundo o numerador da regra do quociente:
(2x)(x^{4}-16)-(x^{2}+1)(4x^{3})=(2x^{5}-32x)-(4x^{5}+4x^{3}).

Passo 6

Combino termos semelhantes no numerador e fatoro para simplificar:
(2x^{5}-32x)-(4x^{5}+4x^{3})=2x^{5}-32x-4x^{5}-4x^{3}.
Agrupando:
2x^{5}-4x^{5}-4x^{3}-32x=-2x^{5}-4x^{3}-32x.
Fator comum -2x (mostrando a divisão termo a termo):
-2x^{5}-4x^{3}-32x = -2x\bigl(x^{4}+2x^{2}+16\bigr).

Passo 7

Resumo das peças que restaram:
  • Numerador simplificado e fatorado: -2x\bigl(x^{4}+2x^{2}+16\bigr).
  • Denominador da regra do quociente: \bigl(x^{4}-16\bigr)^{2}.
    A derivada g'(x) é a fração formada por esse numerador sobre esse denominador (lembrando que x\neq\pm2 porque o denominador original zera nesses pontos).

Resposta

g'(x)=-\frac{2x\bigl(x^{4}+2x^{2}+16\bigr)}{\bigl(x^{4}-16\bigr)^{2}}

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