Calcule a derivada da função:
pontos)
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações dadas (úteis para a resolução):
- A função interna é
, o que exige , ou seja o domínio natural da função é . - A derivada pedida é
.
Passo 2
Estratégia geral (sem fazer contas ainda): usar a regra da cadeia. A ideia é que a função é composta: uma função externa
aplicada a uma função interna
. A regra da cadeia diz, em palavras: “derivada da função externa avaliada na interna, multiplicada pela derivada da interna”. Em fórmula geral:
Vou aplicar essa fórmula com
.
Passo 3
Calcular a derivada da função interna
. Primeiro escrevo de forma exponencial:
Usando a regra de potência
, com
, obtemos
Voltando à raiz isso é
Observação prática: esta derivada só faz sentido para
(no ponto
a derivada lateral direita poderia ser considerada, mas a expressão acima tem divisão por zero).
Passo 4
Agora aplicar a regra da cadeia para
. Pela fórmula do Passo 2,
Substituindo
e
, chega-se a
Passo 5
Simplificar a expressão:
. Então o denominador
fica
. Substituindo,
Lembrete sobre domínio da derivada: esta fórmula é válida para
(porque aparece
no denominador). No ponto
a derivada pelo lado direito não é representada pela expressão acima devido à divisão por zero.