Calcule a derivada da função:
(0,75 pontos) y=\arctan (\sqrt{x+1})

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y=\arctan\bigl(\sqrt{x+1}\bigr).
Informações dadas (úteis para a resolução):
  • A função interna é \sqrt{x+1}, o que exige x+1\ge 0, ou seja o domínio natural da função é x\ge -1.
  • A derivada pedida é \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Estratégia geral (sem fazer contas ainda): usar a regra da cadeia. A ideia é que a função é composta: uma função externa \arctan(\cdot) aplicada a uma função interna u(x)=\sqrt{x+1}. A regra da cadeia diz, em palavras: “derivada da função externa avaliada na interna, multiplicada pela derivada da interna”. Em fórmula geral:
\text{se } y=\arctan(u(x)) \text{ então } \frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+u(x)^2}\cdot \frac{du}{dx}.ã
Vou aplicar essa fórmula com u(x)=\sqrt{x+1}.

Passo 3

Calcular a derivada da função interna u(x)=\sqrt{x+1}. Primeiro escrevo de forma exponencial:
u(x)=(x+1)^{1/2}.
Usando a regra de potência \dfrac{d}{dx}(x+1)^{n}=n(x+1)^{n-1}, com n=\tfrac{1}{2}, obtemos
\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}(x+1)^{-1/2}.
Voltando à raiz isso é
\frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}.
Observação prática: esta derivada só faz sentido para x>-1 (no ponto x=-1 a derivada lateral direita poderia ser considerada, mas a expressão acima tem divisão por zero).

Passo 4

Agora aplicar a regra da cadeia para y=\arctan(u(x)). Pela fórmula do Passo 2,
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+u(x)^2}\cdot \frac{du}{dx}.
Substituindo u(x)=\sqrt{x+1} e \dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}, chega-se a
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+\bigl(\sqrt{x+1}\bigr)^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}}.

Passo 5

Simplificar a expressão: \bigl(\sqrt{x+1}\bigr)^2=x+1. Então o denominador 1+\bigl(\sqrt{x+1}\bigr)^2 fica 1+(x+1)=x+2. Substituindo,
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x+1}\,(x+2)}.
Lembrete sobre domínio da derivada: esta fórmula é válida para x>-1 (porque aparece \sqrt{x+1} no denominador). No ponto x=-1 a derivada pelo lado direito não é representada pela expressão acima devido à divisão por zero.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x+1}\,(x+2)}

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