Resolva TRÊS das integrais de superfície em campo escalar:
\iint_{S} x y d S em que S é a região triangular formado pelos pontos (1,0,0),(0,4,0) e (0,0,4).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície de uma função escalar sobre a face triangular cuja equação é dada pelos pontos (1,0,0), (0,4,0) e (0,0,4). O conteúdo aqui é integral de superfície em campo escalar, e vamos usar a descrição da superfície como gráfico de z=f(x,y), o fator de correção de área dS=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA e então reduzir para uma integral dupla sobre uma região plana D.

Passo 2

Encontre a equação da reta que contém o triângulo. Como os interceptos são x=1, y=4, z=4, a equação do plano é
4x + y + z = 4
isolando z, temos
z = f(x,y) = 4 - 4x - y.
Calcule as derivadas parciais:
f_x = -4, \quad f_y = -1.
Logo,
dS = \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\,dA = \sqrt{1 + 16 + 1}\,dA = \sqrt{18}\,dA = 3\sqrt{2}\,dA.

Passo 3

Determine a projeção D desse triângulo no plano xy. Como z\ge0 e z=4-4x-y, obtemos
4 - 4x - y \ge 0 \;\Longrightarrow\; y \le 4 - 4x,
com x\ge0 e y\ge0. Assim
D = \{(x,y)\mid 0 \le x \le 1,\;0 \le y \le 4-4x\}.

Passo 4

Escreva a integral de superfície como integral dupla em D:
\iint_{S} x\,y\,dS = \iint_{D} x\,y \,\bigl(3\sqrt2\bigr)\,dA = 3\sqrt2 \iint_{D} x\,y\,dA.

Passo 5

Calcule a integral em D:
\iint_{D} x\,y\,dA = \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{4-4x} x\,y\,dy\,dx.
Primeiro a integral interna:
\int_{0}^{4-4x} x\,y\,dy = x\left[\frac{y^2}{2}\right]_{0}^{4-4x} = x\cdot\frac{(4-4x)^2}{2} = x\cdot\frac{16(1-x)^2}{2} =8\,x\,(1-x)^2.
Agora a integral em x:
\int_{0}^{1} 8\,x\,(1-x)^2\,dx =8\int_{0}^{1} \bigl(x -2x^2 + x^3\bigr)\,dx =8\Bigl[\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{2x^3}{3}+\tfrac{x^4}{4}\Bigr]_{0}^{1} =8\Bigl(\tfrac12-\tfrac23+\tfrac14\Bigr) =8\cdot\tfrac{1}{12} =\tfrac{2}{3}.

Passo 6

Multiplicando pelo fator 3\sqrt2, obtemos
\iint_{S} x\,y\,dS =3\sqrt2\cdot\tfrac{2}{3} =2\sqrt2.

Resposta

2\sqrt2

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