Resolva TRÊS das integrais de superfície em campo escalar:
em que
é a região triangular formado pelos pontos
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície de uma função escalar sobre a face triangular cuja equação é dada pelos pontos
,
e
. O conteúdo aqui é integral de superfície em campo escalar, e vamos usar a descrição da superfície como gráfico de
, o fator de correção de área
e então reduzir para uma integral dupla sobre uma região plana
.
Passo 2
Encontre a equação da reta que contém o triângulo. Como os interceptos são
,
,
, a equação do plano é
isolando
, temos
Calcule as derivadas parciais:
Logo,
Passo 3
Determine a projeção
desse triângulo no plano
. Como
e
, obtemos
com
e
. Assim
Passo 4
Escreva a integral de superfície como integral dupla em
:
Passo 5
Calcule a integral em
:
Primeiro a integral interna:
Agora a integral em
:
Passo 6
Multiplicando pelo fator
, obtemos