Os funcionários de uma empresa são classificados em 10 \% ótimos, 60 \% bons e 30 \% regulares. Um teste é proposto para classificar os funcionários em aprovado ou reprovado. Com base na classificação anterior, foram obtidas as seguintes probabilidades condicionais com o teste:
Classes Ótimos Bons Regulares
\% de Aprovados 95 80 10
Pede-se: calcule a probabilidade condicional de um funcionário aprovado no teste pertencer à classe regulares.

Passo 1

O enunciado dá as proporções (priors) das classes e as probabilidades de um funcionário ser aprovado dado cada classe. Especificamente:
  • Proporções das classes:
    • Ótimos: \,0{,}10 (ou 10\%)
    • Bons: \,0{,}60 (ou 60\%)
    • Regulares: \,0{,}30 (ou 30\%)
  • Probabilidades condicionais de ser aprovado pelo teste (peguei estes números do enunciado):
    • \mathbb{P}(\text{Aprovado}\mid \text{Ótimos})=0{,}95Ó (ou 95\%)
    • \mathbb{P}(\text{Aprovado}\mid \text{Bons})=0{,}80 (ou 80\%)
    • \mathbb{P}(\text{Aprovado}\mid \text{Regulares})=0{,}10 (ou 10\%)
A pergunta pede a probabilidade condicional de um funcionário aprovado no teste pertencer à classe Regulares, ou seja:
\mathbb{P}(\text{Regulares}\mid \text{Aprovado}).

Passo 2

Vou explicar a fórmula que usamos (Regra de Bayes) e o conceito de probabilidade total, passo a passo, sem pular etapas.
  • Regra de Bayes (forma útil aqui):
\mathbb{P}(\text{Regulares}\mid \text{Aprovado})=\frac{\mathbb{P}(\text{Aprovado}\mid \text{Regulares})\cdot \mathbb{P}(\text{Regulares})}{\mathbb{P}(\text{Aprovado})}.
Expliquei cada termo:
  • \mathbb{P}(\text{Regulares}\mid \text{Aprovado}) é o que queremos: probabilidade de ser Regular dado que foi aprovado.
  • \mathbb{P}(\text{Aprovado}\mid \text{Regulares}) é a probabilidade de aprovação entre os Regulares (dada no enunciado).
  • \mathbb{P}(\text{Regulares}) é a proporção de Regulares na empresa (prior).
  • \mathbb{P}(\text{Aprovado}) é a probabilidade total de um funcionário ser aprovado, independentemente da classe. Essa última calcula-se pela regra da probabilidade total:
\mathbb{P}(\text{Aprovado})=\sum_{\text{classe}} \mathbb{P}(\text{Aprovado}\mid \text{classe})\cdot \mathbb{P}(\text{classe}).

Passo 3

Calcular \mathbb{P}(\text{Aprovado}) usando os dados fornecidos (converti as porcentagens para decimais):
\mathbb{P}(\text{Aprovado}) =0{,}10\cdot 0{,}95 + 0{,}60\cdot 0{,}80 + 0{,}30\cdot 0{,}10.
Agora faço cada produto:
0{,}10\cdot 0{,}95 = 0{,}095,
0{,}60\cdot 0{,}80 = 0{,}480,
0{,}30\cdot 0{,}10 = 0{,}030.
Somando:
\mathbb{P}(\text{Aprovado})=0{,}095+0{,}480+0{,}030=0{,}605.

Passo 4

Calcular o numerador da regra de Bayes, que é \mathbb{P}(\text{Aprovado}\mid \text{Regulares})\cdot \mathbb{P}(\text{Regulares}):
\mathbb{P}(\text{Aprovado}\mid \text{Regulares})\cdot \mathbb{P}(\text{Regulares})=0{,}10\cdot 0{,}30=0{,}03.
Agora aplico Bayes:
\mathbb{P}(\text{Regulares}\mid \text{Aprovado})=\frac{0{,}03}{0{,}605}.
Faço a simplificação em frações para obter uma forma exata. Escrevendo em frações:
\frac{0{,}03}{0{,}605}=\frac{3/100}{121/200}=\frac{3}{100}\cdot\frac{200}{121}=\frac{6}{121}.
Como decimal e porcentagem:
\frac{6}{121}\approx 0{,}0495868\approx 4{,}95868\%.

Passo 5

Interpretação curta e dica para a prova: o resultado é baixo (cerca de 4{,}96\%) porque, embora existam Regulares na empresa ( 30\%), apenas uma pequena fração deles passa no teste ( 10\%), então entre os aprovados a presença de Regulares é pequena. Em prova, aplique sempre Bayes com a probabilidade total no denominador; escreva números como frações simples para facilitar a conta exata quando possível.

Resposta

\mathbb{P}(\text{Regulares}\mid \text{Aprovado})=\dfrac{6}{121}\approx0{,}0495868\approx4{,}9587\%

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