(1,0) Considere a função
f(x)=\frac{3}{x^{2}-1}
Determine as assíntotas verticais e horizontais da curva y=f(x), se existirem.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{3}{x^{2}-1}
e pede para determinar as assíntotas verticais e horizontais da curva y=f(x), se existirem.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão algébrica de f(x) é \dfrac{3}{x^{2}-1}.
  • A curva pode ter assíntotas verticais quando o denominador se anula e a função tende a \pm\infty nas vizinhanças desses pontos.
  • A curva pode ter assíntotas horizontais se \lim_{x\to\infty}f(x) ou \lim_{x\to-\infty}f(x) forem finitos.

Passo 2

Definição e critério prático para assíntota vertical (mini-aula):
  • Dizemos que x=a é uma assíntota vertical da curva y=f(x) se, ao nos aproximarmos de a por algum dos lados, a função diverge para +\infty ou -\infty. Em símbolos, se uma das condições abaixo ocorrer:
\lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty \quad\text{ou}\quad \lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty,
então x=a é assíntota vertical. Na prática, para funções racionais como esta, procuramos as raízes do denominador e examinamos os limites laterais nesses pontos.

Passo 3

Encontrar os pontos candidatos a assíntotas verticais (mini-passo algébrico):
Resolver o denominador nulo:
x^{2}-1=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 1.
Portanto os candidatos são x=1 e x=-1. Agora precisamos checar os limites laterais em cada um desses pontos.

Passo 4

Análise próxima a x=1 (explicando sinais passo a passo):
Escrevendo o denominador fatorado,
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Para x muito próximo de 1:
  • x+1 está próximo de 2 e é positivo.
  • O sinal do produto depende do sinal de x-1, que é pequeno e muda de sinal ao atravessar 1.
Limites laterais:
  • Se x\to 1^+ então x-1>0 pequeno e x+1>0, logo (x-1)(x+1)>0 pequeno. Assim
\lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}\frac{3}{(x-1)(x+1)}=+\infty.
  • Se x\to 1^- então x-1<0 pequeno e x+1>0, logo (x-1)(x+1)<0 pequeno em valor absoluto. Assim
\lim_{x\to 1^-}f(x)=-\infty.
Conclusão: a função diverge para sinais opostos ao aproximar-se de 1, logo x=1 é assíntota vertical.

Passo 5

Análise próxima a x=-1 (novamente com sinais):
Usando a mesma fatoração (x-1)(x+1), para x perto de -1:
  • x-1 está próximo de -2 (negativo).
  • O sinal do produto depende do sinal de x+1, que é pequeno e muda de sinal ao atravessar -1.
Limites laterais:
  • Se x\to -1^+ então x+1>0 pequeno e x-1\approx -2 (negativo), logo (x-1)(x+1)<0 pequeno em módulo. Assim
\lim_{x\to -1^+}f(x)=-\infty.
  • Se x\to -1^- então x+1<0 pequeno e x-1\approx -2 (negativo), logo (x-1)(x+1)>0 pequeno. Assim
\lim_{x\to -1^-}f(x)=+\infty.
Conclusão: a função também diverge ao aproximar-se de -1, com sinais opostos de cada lado, portanto x=-1 é assíntota vertical.

Passo 6

Definição e critério prático para assíntota horizontal (mini-aula):
  • Dizemos que y=L é uma assíntota horizontal se
\lim_{x\to\infty}f(x)=L \quad\text{ou}\quad \lim_{x\to -\infty}f(x)=L.
Para funções racionais, se o grau do numerador for menor que o grau do denominador, o limite em \pm\infty é 0 e então y=0 é assíntota horizontal.

Passo 7

Calcular os limites em infinito (passo a passo):
Escrevendo a função para estudar x\to\infty (dividindo numerador e denominador por x^{2}):
f(x)=\frac{3}{x^{2}-1}=\frac{\dfrac{3}{x^{2}}}{1-\dfrac{1}{x^{2}}}.
Quando x\to\infty temos \dfrac{3}{x^{2}}\to 0 e 1-\dfrac{1}{x^{2}}\to 1, então
\lim_{x\to\infty}f(x)=0.
O mesmo raciocínio vale para x\to -\infty, porque x^{2} tende a +\infty independentemente do sinal de x. Portanto
\lim_{x\to -\infty}f(x)=0.
Conclusão: y=0 é assíntota horizontal.

Passo 8

Comentário final sobre outros tipos de assíntota:
  • Como o grau do numerador (zero, constante) é menor que o grau do denominador (dois), não há assíntotas oblíquas. Já temos as verticais e a horizontal encontradas.

Resposta

Assíntotas verticais: x=1 e x=-1
Assíntota horizontal: y=0

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