Considere a função
Determine as assíntotas verticais e horizontais da curva
, se existirem.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar as assíntotas verticais e horizontais da curva
, se existirem.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão algébrica de
é . - A curva pode ter assíntotas verticais quando o denominador se anula e a função tende a
nas vizinhanças desses pontos. - A curva pode ter assíntotas horizontais se
ou forem finitos.
Passo 2
Definição e critério prático para assíntota vertical (mini-aula):
- Dizemos que
é uma assíntota vertical da curva se, ao nos aproximarmos de por algum dos lados, a função diverge para ou . Em símbolos, se uma das condições abaixo ocorrer:
então
é assíntota vertical. Na prática, para funções racionais como esta, procuramos as raízes do denominador e examinamos os limites laterais nesses pontos.
Passo 3
Encontrar os pontos candidatos a assíntotas verticais (mini-passo algébrico):
Resolver o denominador nulo:
Resolver o denominador nulo:
Portanto os candidatos são
e
. Agora precisamos checar os limites laterais em cada um desses pontos.
Passo 4
Análise próxima a
(explicando sinais passo a passo):
Escrevendo o denominador fatorado,
Escrevendo o denominador fatorado,
Para
muito próximo de
:
-
está próximo de e é positivo. - O sinal do produto depende do sinal de
, que é pequeno e muda de sinal ao atravessar .
Limites laterais:
- Se
então pequeno e , logo pequeno. Assim
- Se
então pequeno e , logo pequeno em valor absoluto. Assim
Conclusão: a função diverge para sinais opostos ao aproximar-se de
, logo
é assíntota vertical.
Passo 5
Análise próxima a
(novamente com sinais):
Usando a mesma fatoração , para
perto de
:
Usando a mesma fatoração
-
está próximo de (negativo). - O sinal do produto depende do sinal de
, que é pequeno e muda de sinal ao atravessar .
Limites laterais:
- Se
então pequeno e (negativo), logo pequeno em módulo. Assim
- Se
então pequeno e (negativo), logo pequeno. Assim
Conclusão: a função também diverge ao aproximar-se de
, com sinais opostos de cada lado, portanto
é assíntota vertical.
Passo 6
Definição e critério prático para assíntota horizontal (mini-aula):
- Dizemos que
é uma assíntota horizontal se
Para funções racionais, se o grau do numerador for menor que o grau do denominador, o limite em
é
e então
é assíntota horizontal.
Passo 7
Calcular os limites em infinito (passo a passo):
Escrevendo a função para estudar (dividindo numerador e denominador por
):
Escrevendo a função para estudar
Quando
temos
e
, então
O mesmo raciocínio vale para
, porque
tende a
independentemente do sinal de
. Portanto
Conclusão:
é assíntota horizontal.
Passo 8
Comentário final sobre outros tipos de assíntota:
- Como o grau do numerador (zero, constante) é menor que o grau do denominador (dois), não há assíntotas oblíquas. Já temos as verticais e a horizontal encontradas.
Resposta
Assíntotas verticais:
e
Assíntota horizontal:
Assíntota horizontal: