Considere a função
.
a) Determine o domínio dessa função.
b) Mostre que essa função é bijetora com o domínio encontrado acima e contradomínio
e, portanto, admite inversa. Determine também essa função inversa.
a) Determine o domínio dessa função.
b) Mostre que essa função é bijetora com o domínio encontrado acima e contradomínio
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
As perguntas são:
- (a) Determinar o domínio de
. - (b) Mostrar que
, com o domínio encontrado em (a) e contradomínio , é bijetora (ou seja, injetora e sobrejetora) e, portanto, admite inversa. Determinar explicitamente essa função inversa.
Informações úteis do enunciado que vamos usar:
- A expressão da função tem uma raiz quadrada
. - O contradomínio indicado para a verificação de bijetividade é
.
Passo 2
Encontrar o domínio: regra prática e aplicação ao caso.
- Lembrete prático: para que a expressão
esteja bem definida (como número real), é necessário que o radicando seja maior ou igual a zero, ou seja . - No nosso caso o radicando é
. Então exigimos
- Resolver essa desigualdade: subtraindo
e multiplicando por (lembrar que ao multiplicar por a desigualdade troca de sentido),
- Portanto todos os
reais menores ou iguais a são permitidos. Assim o domínio é
Comentário motivacional: essa é a verificação padrão quando aparece uma raiz quadrada — sempre garantir que o que está dentro da raiz seja não negativo.
Passo 3
O que significa provar que uma função é bijetora? (definições e estratégia)
- Injetividade:
é injetora se, sempre que , então necessariamente . Uma forma prática é mostrar que é estritamente monótona (crescente ou decrescente) no domínio; se for estritamente monótona, é injetora. - Sobrejetividade (com o contradomínio
): para cada deve existir algum no domínio tal que . - Para encontrar a inversa explicitamente, resolve-se a equação
em termos de , obtendo em função de . Depois é preciso verificar que essa função resolvida tem domínio e imagem igual ao domínio original .
Passo 4
Provar injetividade diretamente (forma algébrica).
- Suponha que
e pertencem ao domínio e que . - Então
- Ambas as raízes quadradas à esquerda e à direita são números não negativos. Como dois números não negativos têm raízes iguais se e somente se os quadrados são iguais, podemos elevar ao quadrado sem perder soluções:
- Simplificando,
- Conclusão:
é injetora no domínio .
Observação didática: é importante justificar que “elevar ao quadrado” aqui não introduz soluções espúrias, porque as duas expressões originais são não negativas — assim o passo é equivalente.
Passo 5
Provar sobrejetividade sobre
.
- Tome um
arbitrário em . Queremos encontrar tal que . - Escrevemos a equação
- Como
, podemos elevar ao quadrado sem ambiguidade:
- Isolando
,
- Agora verificar que esse
está no domínio: como , temos . Logo . Portanto para todo existe no domínio com . - Conclusão:
é sobrejetora quando o contradomínio é .
Comentário: este cálculo também fornece diretamente a fórmula candidata para a inversa.
Passo 6
Determinar a inversa e verificar que realmente é a inversa.
- A partir do passo anterior, para
obtemos tal que . Portanto a inversa (como função cujo argumento varia em ) é
- Trocar o nome da variável (convencionalmente usamos
para a função inversa) dá
- Verificação rápida por composição:
para
(a igualdade
vale porque
). E
para
. Assim as composições retornam as variáveis originais, confirmando que é realmente a inversa.
Passo 7
Resumo final e incentivo rápido.
- Conseguimos identificar o domínio, provar que
é bijetora quando considerado o contradomínio , e obter a inversa fechada. Se ficou alguma dúvida em qualquer passo, repita a prova de injetividade (é um argumento bem direto) e a dedução da inversa (resolução da equação ). Vai dar certo na prova — respira e escreve passo a passo como aqui!
Resposta
(a)
(b) é bijetora de
em
e a inversa é
para
.
(b)