Considere a função g(x)=\sqrt{-x+3}.
a) Determine o domínio dessa função.
b) Mostre que essa função é bijetora com o domínio encontrado acima e contradomínio [0,+\infty) e, portanto, admite inversa. Determine também essa função inversa.

Passo 1

O enunciado dá a função g definida por
g(x)=\sqrt{-x+3}.
As perguntas são:
  • (a) Determinar o domínio de g.
  • (b) Mostrar que g, com o domínio encontrado em (a) e contradomínio [0,+\infty), é bijetora (ou seja, injetora e sobrejetora) e, portanto, admite inversa. Determinar explicitamente essa função inversa.
Informações úteis do enunciado que vamos usar:
  • A expressão da função tem uma raiz quadrada \sqrt{\;\cdot\;}.
  • O contradomínio indicado para a verificação de bijetividade é [0,+\infty).

Passo 2

Encontrar o domínio: regra prática e aplicação ao caso.
  • Lembrete prático: para que a expressão \sqrt{A} esteja bem definida (como número real), é necessário que o radicando A seja maior ou igual a zero, ou seja A\ge 0.
  • No nosso caso o radicando é -x+3. Então exigimos
-x+3 \ge 0.
  • Resolver essa desigualdade: subtraindo 3 e multiplicando por -1 (lembrar que ao multiplicar por -1 a desigualdade troca de sentido),
-x+3 \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad -x \ge -3 \quad\Longleftrightarrow\quad x \le 3.
  • Portanto todos os x reais menores ou iguais a 3 são permitidos. Assim o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\le 3\} = (-\infty,\,3].
Comentário motivacional: essa é a verificação padrão quando aparece uma raiz quadrada — sempre garantir que o que está dentro da raiz seja não negativo.

Passo 3

O que significa provar que uma função é bijetora? (definições e estratégia)
  • Injetividade: g é injetora se, sempre que g(a)=g(b), então necessariamente a=b. Uma forma prática é mostrar que g é estritamente monótona (crescente ou decrescente) no domínio; se for estritamente monótona, é injetora.
  • Sobrejetividade (com o contradomínio [0,+\infty)): para cada y\in[0,+\infty) deve existir algum x no domínio tal que g(x)=y.
  • Para encontrar a inversa explicitamente, resolve-se a equação y=\sqrt{-x+3} em termos de x, obtendo x em função de y. Depois é preciso verificar que essa função resolvida tem domínio [0,+\infty) e imagem igual ao domínio original (-\infty,3].

Passo 4

Provar injetividade diretamente (forma algébrica).
  • Suponha que a e b pertencem ao domínio (-\infty,3] e que g(a)=g(b).
  • Então
\sqrt{-a+3}=\sqrt{-b+3}.
  • Ambas as raízes quadradas à esquerda e à direita são números não negativos. Como dois números não negativos têm raízes iguais se e somente se os quadrados são iguais, podemos elevar ao quadrado sem perder soluções:
(\sqrt{-a+3})^2=(\sqrt{-b+3})^2 \quad\Longrightarrow\quad -a+3 = -b+3.
  • Simplificando,
-a+3 = -b+3 \quad\Longrightarrow\quad -a = -b \quad\Longrightarrow\quad a=b.
  • Conclusão: g é injetora no domínio (-\infty,3].
Observação didática: é importante justificar que “elevar ao quadrado” aqui não introduz soluções espúrias, porque as duas expressões originais são não negativas — assim o passo é equivalente.

Passo 5

Provar sobrejetividade sobre [0,+\infty).
  • Tome um y arbitrário em [0,+\infty). Queremos encontrar x\in(-\infty,3] tal que g(x)=y.
  • Escrevemos a equação
y=\sqrt{-x+3}.
  • Como y\ge 0, podemos elevar ao quadrado sem ambiguidade:
y^2 = -x+3.
  • Isolando x,
x = 3 - y^2.
  • Agora verificar que esse x está no domínio: como y^2\ge 0, temos x=3-y^2\le 3. Logo x\in(-\infty,3]. Portanto para todo y\in[0,+\infty) existe x=3-y^2 no domínio com g(x)=y.
  • Conclusão: g é sobrejetora quando o contradomínio é [0,+\infty).
Comentário: este cálculo também fornece diretamente a fórmula candidata para a inversa.

Passo 6

Determinar a inversa e verificar que realmente é a inversa.
  • A partir do passo anterior, para y\in[0,+\infty) obtemos x=3-y^2 tal que g(x)=y. Portanto a inversa g^{-1} (como função cujo argumento varia em [0,+\infty)) é
g^{-1}(y)=3-y^2,\qquad y\in[0,+\infty).
  • Trocar o nome da variável (convencionalmente usamos x para a função inversa) dá
g^{-1}(x)=3-x^2,\qquad x\in[0,+\infty).
  • Verificação rápida por composição:
g(g^{-1}(x)) = g(3-x^2) = \sqrt{-\,(3-x^2)+3} = \sqrt{-3+x^2+3} = \sqrt{x^2} = x,
para x\in[0,+\infty) (a igualdade \sqrt{x^2}=x vale porque x\ge 0). E
g^{-1}(g(x)) = g^{-1}\big(\sqrt{3-x}\big) = 3 - \big(\sqrt{3-x}\big)^2 = 3-(3-x)=x,
para x\in(-\infty,3]. Assim as composições retornam as variáveis originais, confirmando que é realmente a inversa.

Passo 7

Resumo final e incentivo rápido.
  • Conseguimos identificar o domínio, provar que g é bijetora quando considerado o contradomínio [0,+\infty), e obter a inversa fechada. Se ficou alguma dúvida em qualquer passo, repita a prova de injetividade (é um argumento bem direto) e a dedução da inversa (resolução da equação y=\sqrt{3-x}). Vai dar certo na prova — respira e escreve passo a passo como aqui!

Resposta

(a) (-\infty,\,3]
(b) g é bijetora de (-\infty,3] em [0,+\infty) e a inversa é g^{-1}(x)=3-x^{2} para x\in[0,+\infty).

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