Resolva cada uma das seguintes equações diferenciais, observando as condições iniciais:
.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial: em
tem , isto é, .
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial para
próximos a
e que verifica a condição inicial dada.
Passo 2
Observando a equação, podemos isolar os termos que dependem de
de um lado e os que dependem de
do outro — isto é o método de separação de variáveis. Vou explicar a ideia de forma didática:
- A derivada
representa a taxa de variação de em relação a . - Se a equação pode ser escrita na forma
, então podemos rearranjar para . Depois integramos ambos os lados: . Isso separa as variáveis e permite achar em função de .
No nosso caso, a equação é
Aqui
e
. Podemos separar as variáveis dividindo por
(assumindo
no procedimento; depois tratamos a possibilidade
se necessário):
Agora integramos ambos os lados. Antes de integrar, explico as integrais que vamos usar:
-
. Aqui é o logaritmo natural de ; o valor absoluto aparece porque o logaritmo natural só aceita argumentos positivos, e a primitiva de deve cobrir e . -
: usar a regra potência para . Assim , e multiplicando por obtemos .
Passo 3
Integrando cada lado:
onde
é a constante de integração (uma constante real arbitrária).
Explicando: a equação
significa que o logaritmo natural de
difere de
por uma constante.
Passo 4
Agora resolvemos para
. Exponenciando ambos os lados (aplicando a função exponencial que é inversa do logaritmo natural), obtemos:
Escrevendo
, temos
. Isso implica que
Em vez de manter o sinal separado, é comum escrever a solução geral como
onde
é uma constante real não nula (pode ser positiva ou negativa). Observação: a solução
também satisfaz a equação original, mas não satisfaz a condição inicial
, então não nos interessa aqui.
Passo 5
Aplicamos a condição inicial para determinar
. Temos
, então
Portanto a constante é
e a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Passo 6
Verificação rápida (sempre boa prática): calculamos a derivada de
usando a regra da cadeia. A derivada é
que coincide com a equação dada. Além disso
, portanto a solução está correta.