Resolva cada uma das seguintes equações diferenciais, observando as condições iniciais:
\frac{d y}{d x}=4 x^{3} y ; \quad x=0, y=1.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial:
  • Equação diferencial: \dfrac{dy}{dx}=4x^{3}y.
  • Condição inicial: em x=0 tem y=1, isto é, y(0)=1.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial para x próximos a 0 e que verifica a condição inicial dada.

Passo 2

Observando a equação, podemos isolar os termos que dependem de y de um lado e os que dependem de x do outro — isto é o método de separação de variáveis. Vou explicar a ideia de forma didática:
  • A derivada \dfrac{dy}{dx} representa a taxa de variação de y em relação a x.
  • Se a equação pode ser escrita na forma \dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y), então podemos rearranjar para \dfrac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx. Depois integramos ambos os lados: \int \dfrac{1}{h(y)}\,dy = \int g(x)\,dx. Isso separa as variáveis e permite achar y em função de x.
No nosso caso, a equação é
\frac{dy}{dx}=4x^{3}y.
Aqui g(x)=4x^{3} e h(y)=y. Podemos separar as variáveis dividindo por y (assumindo y\neq0 no procedimento; depois tratamos a possibilidade y\equiv0 se necessário):
\frac{1}{y}\,dy = 4x^{3}\,dx.
Agora integramos ambos os lados. Antes de integrar, explico as integrais que vamos usar:
  • \displaystyle \int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y| + C. Aqui \ln|y| é o logaritmo natural de |y|; o valor absoluto aparece porque o logaritmo natural só aceita argumentos positivos, e a primitiva de 1/y deve cobrir y>0 e y<0.
  • \displaystyle \int 4x^{3}\,dx: usar a regra potência \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq-1. Assim \int x^{3}\,dx = \dfrac{x^{4}}{4}, e multiplicando por 4 obtemos x^{4}.

Passo 3

Integrando cada lado:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int 4x^{3}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = x^{4} + C,
onde C é a constante de integração (uma constante real arbitrária).
Explicando: a equação \ln|y| = x^{4} + C significa que o logaritmo natural de |y| difere de x^{4} por uma constante.

Passo 4

Agora resolvemos para y. Exponenciando ambos os lados (aplicando a função exponencial que é inversa do logaritmo natural), obtemos:
|y| = e^{x^{4}+C} = e^{C}\,e^{x^{4}}.
Escrevendo A=e^{C}>0, temos |y|=A e^{x^{4}}. Isso implica que
y = \pm A e^{x^{4}}.
Em vez de manter o sinal separado, é comum escrever a solução geral como
y = C_{1} e^{x^{4}},
onde C_{1} é uma constante real não nula (pode ser positiva ou negativa). Observação: a solução y\equiv 0 também satisfaz a equação original, mas não satisfaz a condição inicial y(0)=1, então não nos interessa aqui.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial para determinar C_{1}. Temos y(0)=1, então
y(0)=C_{1} e^{0}=C_{1}=1.
Portanto a constante é C_{1}=1 e a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x)=e^{x^{4}}.

Passo 6

Verificação rápida (sempre boa prática): calculamos a derivada de y(x)=e^{x^{4}} usando a regra da cadeia. A derivada é
\frac{dy}{dx} = e^{x^{4}}\cdot \frac{d}{dx}(x^{4}) = e^{x^{4}}\cdot 4x^{3} = 4x^{3}y,
que coincide com a equação dada. Além disso y(0)=e^{0}=1, portanto a solução está correta.

Resposta

y(x)=e^{x^{4}}

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