Resolva cada uma das seguintes equações diferenciais, observando as condições iniciais:
\frac{d y}{d x}=x \sqrt{x^{2}-4} ; \quad x=2, y=3.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e uma condição inicial. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido:
  • Equação diferencial: \displaystyle \frac{dy}{dx}=x\sqrt{x^{2}-4}.
  • Condição inicial: \displaystyle x=2,\; y=3.
  • O problema pede a solução y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Informações relevantes contidas no enunciado:
  • A presença de \sqrt{x^{2}-4} impõe a restrição \displaystyle x^{2}-4\ge 0, ou seja \displaystyle |x|\ge 2. Essa restrição determina o domínio onde a expressão é real (e onde a solução faz sentido com a raiz principal não-negativa).

Passo 2

Reconhecer a forma da equação e separar as variáveis (etapa didática):
  • A equação está na forma \displaystyle \frac{dy}{dx}=f(x), isto é, o lado direito depende só de x. Isso significa que podemos integrar ambos os lados em x para obter y(x).
  • Escrevendo diferencialmente: \displaystyle dy = x\sqrt{x^{2}-4}\,dx.
  • Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int dy=\int x\sqrt{x^{2}-4}\,dx.
Explicação rápida sobre a operação: integrar \int dy y+C, onde C é constante de integração; à direita precisamos calcular uma integral em x. Para essa integral vamos usar uma substituição simples.

Passo 3

Fazer a substituição apropriada e integrar passo a passo (aula prática):
  • Escolher a substituição \displaystyle u=x^{2}-4. Essa escolha é natural porque a raiz é \sqrt{x^{2}-4}=\sqrt{u} e a derivada de x^{2}-4 é proporcional a x.
  • Calcular o diferencial: \displaystyle du=2x\,dx, logo \displaystyle x\,dx=\frac{1}{2}\,du.
  • Substituindo na integral da direita:
\int x\sqrt{x^{2}-4}\,dx=\int \sqrt{u}\cdot\frac{1}{2}\,du=\frac{1}{2}\int u^{1/2}\,du.
  • Aplicar a regra de potência para integrar \int u^{1/2}\,du. Regra: \displaystyle \int u^{p}\,du=\frac{u^{p+1}}{p+1}+ \text{const} para p\neq -1. Aqui p=\tfrac{1}{2}, então
\int u^{1/2}\,du=\frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}u^{3/2}.
  • Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que ficou fora:
\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}=\frac{1}{3}u^{3/2}.
  • Voltar para a variável x (substituir u=x^{2}-4):
\int x\sqrt{x^{2}-4}\,dx=\frac{1}{3}\bigl(x^{2}-4\bigr)^{3/2}+C.
  • Portanto, integrando ambos os lados obtemos a solução geral:
y=\frac{1}{3}\bigl(x^{2}-4\bigr)^{3/2}+C.

Passo 4

Aplicar a condição inicial para achar a constante C:
  • A condição é \displaystyle y(2)=3. Substitui-se x=2 na solução geral:
y(2)=\frac{1}{3}\bigl(2^{2}-4\bigr)^{3/2}+C=\frac{1}{3}\bigl(4-4\bigr)^{3/2}+C=\frac{1}{3}\cdot 0^{3/2}+C=C.
  • Como y(2)=3, temos C=3.

Passo 5

Escrever a solução particular que satisfaz a condição inicial e discutir o domínio (dica prática para a prova):
  • A solução particular é
y(x)=\frac{1}{3}\bigl(x^{2}-4\bigr)^{3/2}+3.
  • Sobre o domínio: como a raiz é \sqrt{x^{2}-4} tomada como a raiz principal (não-negativa), exige-se \displaystyle x^{2}-4\ge 0, ou seja \displaystyle x\le -2 ou \displaystyle x\ge 2. Como a condição inicial está em x=2, a solução que atende a condição inicial é considerada no ramo \displaystyle x\ge 2 (pode ser indicada no intervalo [2,\infty)). Em provas, é bom mencionar essa restrição de domínio quando a equação envolve raízes.

Resposta

\displaystyle y(x)=\frac{1}{3}\bigl(x^{2}-4\bigr)^{3/2}+3

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