Resolva cada uma das seguintes equações diferenciais, observando as condições iniciais:
.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e uma condição inicial. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido:
- Equação diferencial:
- Condição inicial:
- O problema pede a solução
que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Informações relevantes contidas no enunciado:
- A presença de
impõe a restrição , ou seja . Essa restrição determina o domínio onde a expressão é real (e onde a solução faz sentido com a raiz principal não-negativa).
Passo 2
Reconhecer a forma da equação e separar as variáveis (etapa didática):
- A equação está na forma
, isto é, o lado direito depende só de . Isso significa que podemos integrar ambos os lados em para obter . - Escrevendo diferencialmente:
- Agora integramos ambos os lados em relação a
:
Explicação rápida sobre a operação: integrar
dá
, onde
é constante de integração; à direita precisamos calcular uma integral em
. Para essa integral vamos usar uma substituição simples.
Passo 3
Fazer a substituição apropriada e integrar passo a passo (aula prática):
- Escolher a substituição
. Essa escolha é natural porque a raiz é e a derivada de é proporcional a . - Calcular o diferencial:
, logo . - Substituindo na integral da direita:
- Aplicar a regra de potência para integrar
. Regra: para . Aqui , então
- Multiplicando pelo fator
que ficou fora:
- Voltar para a variável
(substituir ):
- Portanto, integrando ambos os lados obtemos a solução geral:
Passo 4
Aplicar a condição inicial para achar a constante
:
- A condição é
. Substitui-se na solução geral:
- Como
, temos .
Passo 5
Escrever a solução particular que satisfaz a condição inicial e discutir o domínio (dica prática para a prova):
- A solução particular é
- Sobre o domínio: como a raiz é
tomada como a raiz principal (não-negativa), exige-se , ou seja ou . Como a condição inicial está em , a solução que atende a condição inicial é considerada no ramo (pode ser indicada no intervalo ). Em provas, é bom mencionar essa restrição de domínio quando a equação envolve raízes.