Considere a função
f(x)=\frac{e^{x}}{4-x^{2}}
Sobre o gráfico de f podemos afirmar que:
a) não existem assíntotas verticais nem horizontais.
b) x=2 é a única assíntota vertical e y=1 é a única assíntota horizontal .
c) não existem assíntotas verticais e y=0 é a única assíntota horizontal.
d) x=-2 e x=2 são as únicas assíntotas verticais e não existe assíntota horizontal.
e) x=-2 é a única assíntota vertical e y=0 é a única assíntota horizontal.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{e^{x}}{4 - x^{2}}
e pede para identificarmos as assíntotas verticais (linhas x = a onde f(x)\to\pm\infty) e as assíntotas horizontais (linhas y = L em que \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L).

Passo 2

Para achar as assíntotas verticais, analisamos o denominador 4 - x^{2} = (2 - x)(2 + x). Ele se anula em x=2 e em x=-2, sem cancelamento com o numerador. Logo, nesses pontos o valor de f(x) explode para \pm\infty, e portanto são assíntotas verticais:
x = 2 \quad\text{e}\quad x = -2.

Passo 3

Agora, para assíntota horizontal, examinamos os limites em cada “infinito”:
  1. Limite quando x\to +\infty:
\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}}{4 - x^{2}} =\frac{+\infty}{-\infty} = -\infty
(na prática, e^{x} cresce muito mais rápido que x^{2}, logo o quociente vai a \pm\infty, aqui -\infty). Não há valor finito.
2. Limite quando x\to -\infty:
\lim_{x\to-\infty}\frac{e^{x}}{4 - x^{2}} =\frac{0^{+}}{-\infty} =0.
Ou seja, para x\to -\infty a função se aproxima de y=0, mas para x\to+\infty não se aproxima de nenhum valor finito.

Passo 4

Como a linha y=0 é assíntota apenas no limite x\to -\infty e não em x\to+\infty, muitas definições exigem que haja aproximação em ambos os extremos para chamar de “assíntota horizontal”. Portanto, concluímos que não há uma assíntota horizontal única que sirva para os dois lados.

Resposta

d) x=-2 e x=2 são as únicas assíntotas verticais e não existe assíntota horizontal.

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