Determine a função derivada das seguintes funções:
f(x)=\frac{\sqrt[3]{x}}{\operatorname{arcsen} x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\sqrt[3]{x}}{\arcsin x}\,.
O conteúdo principal envolve:
  1. Regra da potência para derivar \sqrt[3]{x}=x^{1/3}.
  2. Derivada da função \arcsin x, que é \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
  3. Regra do quociente: se f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2}\,.

Passo 2

Definimos
u(x)=x^{1/3},\quad v(x)=\arcsin x.
Aplicando as regras de derivação:
u'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}, \qquad v'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Passo 3

Pela regra do quociente,
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2} =\frac{\frac{1}{3}x^{-2/3}\,\arcsin x \;-\; x^{1/3}\,\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{(\arcsin x)^2}.

Passo 4

Para simplificar o numerador, colocamos em comum denominador 3\,x^{2/3}\sqrt{1-x^2}:
\frac{1}{3}x^{-2/3}\,\arcsin x =\frac{\arcsin x\;\sqrt{1-x^2}}{3\,x^{2/3}\sqrt{1-x^2}}, \qquad x^{1/3}\,\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} =\frac{3x}{3\,x^{2/3}\sqrt{1-x^2}}.
Assim, o numerador fica
\frac{\arcsin x\;\sqrt{1-x^2}-3x}{3\,x^{2/3}\sqrt{1-x^2}}.
Logo,
f'(x) =\frac{\arcsin x\;\sqrt{1-x^2}-3x} {3\,x^{2/3}\,\sqrt{1-x^2}\,(\arcsin x)^2}.

Resposta

f'(x) =\frac{\arcsin x\;\sqrt{1-x^2}-3x} {3\,x^{2/3}\,\sqrt{1-x^2}\,(\arcsin x)^2}.

Exercícios relacionados